Binomická veta (binomické rozšírenie) popisuje spôsob rozšírenia mocniny súčtu dvoch členov do sumy členov s binomickými koeficientmi. Napríklad sa skúma výraz v zátvorkách ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}}. 
Základná formulácia pre celé nenegatívne n
Ak je n nezáporné celé číslo (n ∈ N0), potom platí klasická binomická veta:
(x + y)^n = Σ_{k=0}^{n} C(n,k) x^{n-k} y^{k},
kde C(n,k) (často zapisované ako \binom{n}{k}) sú binomické koeficienty definované vzťahom
C(n,k) = n! / (k!(n-k)!) pre 0 ≤ k ≤ n (pričom 0! = 1).
Príklady
- (x + y)^1 = x + y
- (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
- (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
- Pre číselné x, y: (2 + 3)^3 = 5^3 = 125 a podľa rozšírenia 8 + 3·4·3 + 3·2·9 + 27 = 125.
Vlastnosti binomických koeficientov
- Symetria: C(n,k) = C(n,n-k).
- Súčet koeficientov: Σ_{k=0}^{n} C(n,k) = 2^n (to zodpovedá (1+1)^n).
- Veta Pascala: C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k), čo vedie k Pascalovmu trojuholníku.
- Kombinatorická interpretácia: C(n,k) je počet spôsobov, ako vybrať k prvkov z n-prvkového množiny (bez poradia).
Dôkazy (stručne)
- Kombinatorický dôkaz: Pri rozvoji (x+y)^n každá z n faktorov prispieva buď x alebo y. Výraz x^{n-k}y^k vznikne výberom presne k faktorov, ktoré dodajú y; počet takých výberov je C(n,k).
- Indukcia: Pre n=0 platí tvrdenie. Ak platí pre n, potom násobením oboma stranami (x+y) a zhromaždením členov podľa mocnín x a y využijeme Pascalovo pravidlo a dostaneme platnosť pre n+1.
Rozšírenia a zvláštne prípady
- Negatívne a zlomkové exponenty (generálna binomická séria): Pre ľubovoľné reálne alebo komplexné α platí formálne rozšírenie
(1+z)^α = Σ_{k=0}^{∞} \binom{α}{k} z^{k},
kde \binom{α}{k} = α(α-1)...(α-k+1)/k!. Táto mocninová séria je konvergentná pre |z| < 1 (a pri niektorých α i na hranici). Pre α ∈ N0 séria končí po konečne mnohých členoch a zhoduje sa s klasickým binomickým rozšírením.
- Špeciálne príklady: (1+z)^{-1} = 1 - z + z^2 - z^3 + ... pre |z|<1 (geometrická postupnosť zobrazená pomocou binomických koeficientov pre α=-1).
- Vektorové a maticové rozšírenia: Binomická veta platí formálne aj pre nekomutujúce členy za špecifických okolností (napr. ak jeden člen komutuje s druhým), v praxi je však potrebná opatrnosť pri poradie násobení.
Aplikácie
- Algebraické rozširovanie a faktorizácia výrazov.
- Pravdepodobnosť a štatistika (napríklad binomické rozdelenie s pravdepodobnosťou úspechu p a n pokusmi má pravdepodobnosť k úspechov rovnakú C(n,k) p^k (1-p)^{n-k}).
- Numerické rozšírenia a Taylorove rady (použitie pri aproximáciách).
- Kombinatorika, počítanie kombinácií a usporiadaní.
Tipy na cvičenie
- Rozšírte (x+2y)^4 a skontrolujte výsledok pomocou binomických koeficientov.
- Ukážte, že súčet všetkých koeficientov pri (x+y)^n je 2^n dosadením x=y=1.
- Pre α=1/2 vypočítajte prvé štyri členy série (1+z)^{1/2} a určite polomer konvergencie.
