Prejsť na obsah
Domov

Binomická veta: definícia a rozšírenie (x+y)^n s binomickými koeficientmi

Binomická veta: definícia a postup rozšírenia (x+y)^n, výpočet binomických koeficientov, príklady a tipy pre rýchle riešenia.

Autor: Vytvorené: Aktualizované:

Binomická veta (binomické rozšírenie) popisuje spôsob rozšírenia mocniny súčtu dvoch členov do sumy členov s binomickými koeficientmi. Napríklad sa skúma výraz v zátvorkách ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}}. {\displaystyle (x+y)^{n}}

Galéria obrázkov

1 Obrázok
File:PascalTriangleAnimated2.gif
simple.wikipedia.org · Public domain

Základná formulácia pre celé nenegatívne n

Ak je n nezáporné celé číslo (n ∈ N0), potom platí klasická binomická veta:

(x + y)^n = Σ_{k=0}^{n} C(n,k) x^{n-k} y^{k},

kde C(n,k) (často zapisované ako \binom{n}{k}) sú binomické koeficienty definované vzťahom

C(n,k) = n! / (k!(n-k)!) pre 0 ≤ k ≤ n (pričom 0! = 1).

Príklady

  • (x + y)^1 = x + y
  • (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
  • (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
  • Pre číselné x, y: (2 + 3)^3 = 5^3 = 125 a podľa rozšírenia 8 + 3·4·3 + 3·2·9 + 27 = 125.

Vlastnosti binomických koeficientov

  • Symetria: C(n,k) = C(n,n-k).
  • Súčet koeficientov: Σ_{k=0}^{n} C(n,k) = 2^n (to zodpovedá (1+1)^n).
  • Veta Pascala: C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k), čo vedie k Pascalovmu trojuholníku.
  • Kombinatorická interpretácia: C(n,k) je počet spôsobov, ako vybrať k prvkov z n-prvkového množiny (bez poradia).

Dôkazy (stručne)

  • Kombinatorický dôkaz: Pri rozvoji (x+y)^n každá z n faktorov prispieva buď x alebo y. Výraz x^{n-k}y^k vznikne výberom presne k faktorov, ktoré dodajú y; počet takých výberov je C(n,k).
  • Indukcia: Pre n=0 platí tvrdenie. Ak platí pre n, potom násobením oboma stranami (x+y) a zhromaždením členov podľa mocnín x a y využijeme Pascalovo pravidlo a dostaneme platnosť pre n+1.

Rozšírenia a zvláštne prípady

  • Negatívne a zlomkové exponenty (generálna binomická séria): Pre ľubovoľné reálne alebo komplexné α platí formálne rozšírenie

    (1+z)^α = Σ_{k=0}^{∞} \binom{α}{k} z^{k},

    kde \binom{α}{k} = α(α-1)...(α-k+1)/k!. Táto mocninová séria je konvergentná pre |z| < 1 (a pri niektorých α i na hranici). Pre α ∈ N0 séria končí po konečne mnohých členoch a zhoduje sa s klasickým binomickým rozšírením.

  • Špeciálne príklady: (1+z)^{-1} = 1 - z + z^2 - z^3 + ... pre |z|<1 (geometrická postupnosť zobrazená pomocou binomických koeficientov pre α=-1).
  • Vektorové a maticové rozšírenia: Binomická veta platí formálne aj pre nekomutujúce členy za špecifických okolností (napr. ak jeden člen komutuje s druhým), v praxi je však potrebná opatrnosť pri poradie násobení.

Aplikácie

  • Algebraické rozširovanie a faktorizácia výrazov.
  • Pravdepodobnosť a štatistika (napríklad binomické rozdelenie s pravdepodobnosťou úspechu p a n pokusmi má pravdepodobnosť k úspechov rovnakú C(n,k) p^k (1-p)^{n-k}).
  • Numerické rozšírenia a Taylorove rady (použitie pri aproximáciách).
  • Kombinatorika, počítanie kombinácií a usporiadaní.

Tipy na cvičenie

  • Rozšírte (x+2y)^4 a skontrolujte výsledok pomocou binomických koeficientov.
  • Ukážte, že súčet všetkých koeficientov pri (x+y)^n je 2^n dosadením x=y=1.
  • Pre α=1/2 vypočítajte prvé štyri členy série (1+z)^{1/2} a určite polomer konvergencie.

Vzorce

V zásade existujú tri vzorce binomického rozšírenia:

( a + b ) =2 a +2 a 2b + b {\displaystyle2 (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}} {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}

  

1. (Plus)

( a - b ) =2 a2 -2 a b + b {\displaystyle2 (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}} {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}

2. (mínus)

( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a2 - b {\displaystyle2 (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}} {\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}

3. miesto (plus-mínus)

Prečo existujú takéto 3 vzorce, môžeme vysvetliť jednoduchým rozšírením súčinu:

( a + b ) = 2( a + b ) ⋅ ( a + b ) = a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ b = a + 22⋅ a ⋅ b + b {\displaystyle2 (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}} {\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}}

( a - b ) = 2( a - b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b - b ⋅ a + b ⋅ b = a - 22⋅ a ⋅ b + b {\displaystyle2 (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}} {\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}}

( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b + b ⋅ a - b ⋅ b = a 2- b {\displaystyle2 (a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}} {\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}}

Použitie Pascalovho trojuholníka

Ak n {\displaystyle n}n je celé číslo ( n ∈ Z {\displaystyle n\v \mathbb {Z} }{\displaystyle n\in \mathbb {Z} } ), použijeme Pascalov trojuholník.


Rozšírenie ( x + y ) {\displaystyle2 (x+y)^{2}}{\displaystyle (x+y)^{2}} :

  • nájsť riadok 2 Pascalovho trojuholníka (1, 2, 1)
  • rozšíriť x {\displaystyle x}x a y {\displaystyle y} ytak, aby výkon x {\displaystyle x}x klesol o 1 vždy od n {\displaystyle n}n do 0 a výkon y {\displaystyle y}y stúpol o 1 vždy od 0 do n {\displaystyle n} n
  • vynásobte čísla z Pascalovho trojuholníka správnymi výrazmi.


Takže ( x + y ) =2 x 1y2 +0 x2 y 1+1 x 1y 0{\displaystyle2 (x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}} {\displaystyle (x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}}


Napríklad:

( + 3x2 ) = ⋅2132 ⋅ ( x2 ) + ⋅ 0231⋅ ( x2 ) + ⋅ 1130⋅ ( x 2) =2 + 9x 12+ x 4{\displaystyle (3+2x)^{2}=1\cdot 3^{2}\cdot (2x)^{0}+2\cdot 3^{1}\cdot (2x)^{1}+1\cdot2 3^{0}\cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}} {\displaystyle (3+2x)^{2}=1\cdot 3^{2}\cdot (2x)^{0}+2\cdot 3^{1}\cdot (2x)^{1}+1\cdot 3^{0}\cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}}


Takže spravidla:

( x + y ) n = a x 0n y +0 a x1 n -1 y + 1a x2 n - 2y + 2⋯ + a n - 1x y 1n - 1+ a n x y0 n {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}} {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}}

kde a i {\displaystyle a_{i}}{\displaystyle a_{i}} je číslo v riadku n {\displaystyle n}n a na pozícii i {\displaystyle i}{\displaystyle i} v Pascalovom trojuholníku.

Príklady

( + 5x3 ) = ⋅3153 ⋅ ( x3 ) + ⋅ 0352⋅ ( x3 ) + ⋅ 1351⋅ ( x 3) + ⋅ 2150⋅ ( x3 ) {\displaystyle (5+3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (3x)^{3}}3 {\displaystyle (5+3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (3x)^{3}}

= + 12575⋅ 3x + 15⋅9 x + 21⋅ 27x =3 + 125x225 + x 135+ 2x 27{\displaystyle3 =125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}} {\displaystyle =125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}}

 

(5 - 3x ) = ⋅3153 ⋅ ( - 3x ) + ⋅ 0352⋅ ( - 3x ) + ⋅ 1351⋅ ( - 3x ) + ⋅ 2150⋅ ( - 3x ) {\displaystyle (5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (-3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}}3 {\displaystyle (5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (-3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}}

= +12575 ⋅ ( - 3x ) + 15⋅ 9x + 21⋅ ( - 27x ) 3=125 -223 x + x 1352-27 x {\displaystyle3 =125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}} {\displaystyle =125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}}

 

( + 7x4 ) 2= ⋅5175 ⋅ ( x4 )2 + ⋅ 0574⋅ ( x4 )2 + ⋅ 11073⋅ ( x 4)2 + ⋅ 21072⋅ ( x 4)2 + ⋅ 3571⋅ ( x4 ) 2+ ⋅ 4170⋅ ( x4 ) 2{\displaystyle (7+4x^{2})^{5}=1\cdot5 7^{5}\cdot (4x^{2})^{0}+5\cdot 7^{4}\cdot (4x^{2})^{1}+10\cdot 7^{3}\cdot (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}} {\displaystyle (7+4x^{2})^{5}=1\cdot 7^{5}\cdot (4x^{2})^{0}+5\cdot 7^{4}\cdot (4x^{2})^{1}+10\cdot 7^{3}\cdot (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}}

= +1680712005 ⋅4 x + 23430⋅16 x + 4490⋅64 x + 635⋅256 x + 81⋅ 1024x {\displaystyle =16807+12005\cdot 4x^{2}+3430\cdot 16x^{4}+490\cdot 64x^{6}+35\cdot 256x^{8}+1\cdot 1024x^{10}}10 {\displaystyle =16807+12005\cdot 4x^{2}+3430\cdot 16x^{4}+490\cdot 64x^{6}+35\cdot 256x^{8}+1\cdot 1024x^{10}}

= +16807 x48020 +2 x54880 +4 x 31360+ x 68960+ 8x 1024{\displaystyle10 \,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}} {\displaystyle \,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}}

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to binomické rozšírenie?

Odpoveď: Binomická expanzia je matematická metóda, ktorá využíva výraz na vytvorenie radu pomocou výrazu v zátvorke (x+y)^n.

Otázka: Aký je základný koncept binomického rozšírenia?

Odpoveď: Základnou koncepciou binomickej expanzie je rozšírenie mocniny binomického výrazu na rad.

Otázka: Čo je to binomický výraz?

Odpoveď: Binomický výraz je algebraický výraz obsahujúci dva členy spojené znamienkom plus alebo mínus.

Otázka: Aký je vzorec pre binomický rozvoj?

Odpoveď: Vzorec pre binomický výraz je (x+y)^n, kde n je exponent.

Otázka: Koľko typov binomických výrokov existuje?

Odpoveď: Existujú tri typy binomických rozšírení.

Otázka: Aké sú tri typy binomického rozvoja?

Odpoveď: Tri typy binomického rozkladu sú - prvý binomický rozklad, druhý binomický rozklad a tretí binomický rozklad.

Otázka: Ako je binomický rozvoj užitočný pri matematických výpočtoch?

Odpoveď: Binomický rozvoj je užitočný pri matematických výpočtoch, pretože pomáha zjednodušiť zložité výrazy a riešiť komplexné problémy.

Súvisiace články

Autor

AlegsaOnline.com Binomická veta: definícia a rozšírenie (x+y)^n s binomickými koeficientmi

URL: https://sk.alegsaonline.com/art/11610

Zdieľať