Prejsť na obsah
Domov

Elastická zrážka: definícia, princíp a zachovanie hybnosti

Objavte elastickú zrážku: jasná definícia, princíp fungovania, zachovanie hybnosti a úloha kinetickej energie s praktickými príkladmi a jednoduchým vysvetlením.

Autor: Vytvorené: Aktualizované:

Pružná zrážka (elastická zrážka) nastáva vtedy, keď sa dva objekty zrazia a odrazia sa späť s malou alebo žiadnou deformáciou a bez straty mechanickej energie vo forme tepla alebo zvuku. Typickým príkladom sú dve gumené alebo biliardové loptičky, ktoré pri náraze medzi sebou vymenia hybnosti a energie a dajú sa považovať za elastické objekty. Naopak, zrážka dvoch áut je zvyčajne nepružná, pretože sa pri nej energia premenuje na trvalé deformácie, teplo a zvuk.

Galéria obrázkov

3 Obrázky
Translational motion
en.wikipedia.org · Public domain

Základné princípy

Pri dokonale pružnej zrážke platia dve kľúčové zachovania:

  • zachovanie hybnosti (vektorová veličina): celková hybnosť systému pred zrážkou je rovnaká ako po zrážke;
  • zachovanie kinetickej energie (pri dokonale pružnej zrážke): súčet kinetických energií súčastí pred zrážkou sa rovná súčtu kinetických energií po zrážke — inak povedané, nedochádza k premenám kinetickej energie na iné formy (viac o kinetická energia v pôvodnom odkaze).

Okrem toho sa pre jednorozmerné zrážky často používa pojem koeficient restitúcie e, ktorý vyjadruje pomer relatívnej rýchlosti oddelenia k relatívnej rýchlosti pristúpenia. Pre dokonale pružnú zrážku platí e = 1.

Rovnice pre jednorozmernú pružnú zrážku dvoch telies

Nech m1, m2 sú hmotnosti dvoch telies a u1, u2 ich počiatočné rýchlosti (pred zrážkou). Označme v1, v2 rýchlosti po zrážke. Z platnosti zachovania hybnosti a kinetickej energie dostaneme dve rovnice:

  • m1·u1 + m2·u2 = m1·v1 + m2·v2
  • 1/2·m1·u1² + 1/2·m2·u2² = 1/2·m1·v1² + 1/2·m2·v2²

Riešením týchto rovníc pre v1 a v2 (pre dokonale pružnú zrážku) sú uznávané vzorce:

  • v1 = ((m1 - m2) / (m1 + m2))·u1 + (2·m2 / (m1 + m2))·u2
  • v2 = (2·m1 / (m1 + m2))·u1 + ((m2 - m1) / (m1 + m2))·u2

Špeciálne prípady:

  • Ak sú hmotnosti rovnaké (m1 = m2), telesá si vymenia rýchlosti: v1 = u2, v2 = u1.
  • Ak druhé telo stojí (u2 = 0), potom v1 = (m1 - m2)/(m1 + m2)·u1 a v2 = (2·m1)/(m1 + m2)·u1.

Pohľad v strede hmotnosti (centrum hmotnosti)

V sústave stredu hmotnosti (COM) je celková hybnosť nulová. Pre dokonale pružné zrážky platí, že v COM ráme sa rýchlosti oboch telies po zrážke zmenia iba znamienko — teda relatívna rýchlosť sa obráti (rýchlosť sa „otočí“), pričom veľkosť relatívnej rýchlosti zostáva rovnaká. Tento fakt je užitočný pri riešení zrážok v dvoch rozmeroch, kde sa často vyjadrujú výsledné rýchlosti pomocou uhlov rozptylu.

Príklady a použitia

  • Biliardové (pool) gule: pri prakticky elastických zrážkach dochádza k dobre predvídateľnému prenosu hybnosti.
  • Kolidujúce molekuly v ideálnom plyne: medzi molekulami sa bežne uvažujú pružné zrážky, čo je základom kinetickej teórie plynov.
  • Laboratórne experimenty s mikroskopickými časticami: častice v urýchľovačoch sa často správajú takmer elasticky pri zrážkach medzi nimi (ak neprichádza k iným interakciám).

Skutočný svet a idealizácia

Vo väčšine reálnych situácií sú zrážky čiastočne nepružné: časť kinetickej energie sa premieňa na vnútornú energiu, deformáciu, teplo, svetlo alebo zvuk. Pojem dokonale pružnej zrážky je preto idealizácia, ktorá však často veľmi dobre približuje správanie tuhých telies pri krátkodobých nárazoch (napr. pri nárazoch tvrdých gúľ) alebo molekúl v plynoch.

Dôležité body na zapamätanie

  • Hybnosť sa zachováva pri všetkých typoch izolovaných zrážok (pružných aj nepružných).
  • Kinetická energia sa zachováva len pri dokonale pružných zrážkach (v praxi často ide o približné zachovanie pri malých stratách energie).
  • Koeficient restitúcie e = 1 pre dokonale pružnú, 0 < e < 1 pre čiastočne pružnú a e = 0 pre dokonale nepružnú zrážku.
Ukážka pružnej zrážky nerovnakých hmotností
Ukážka pružnej zrážky nerovnakých hmotností

Jednorozmerný newtonovský

Uvažujme dve častice označené indexmi 1 a 2. Nech m1 a m2 sú hmotnosti, u1 a u2 sú rýchlosti pred zrážkou a v1 a v2 sú rýchlosti po zrážke.

Použitie zákona o zachovaní hybnosti na zápis jedného vzorca

Keďže ide o pružnú zrážku, celková hybnosť pred zrážkou je rovnaká ako celková hybnosť po zrážke. Vzhľadom na to, že hybnosť (p) sa vypočíta ako

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv} {\displaystyle \,\!p=mv}

Môžeme vypočítať, že hybnosť pred zrážkou je:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}} {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}

a hybnosť po zrážke je:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}} {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

Ak tieto dve rovnice stanovíme ako rovnaké, dostaneme našu prvú rovnicu:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}} {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

Použitie zákona o zachovaní energie na zápis druhého vzorca

Druhým pravidlom, ktoré používame, je, že celková kinetická energia zostáva rovnaká, čo znamená, že počiatočná kinetická energia sa rovná konečnej kinetickej energii.

Vzorec pre kinetickú energiu je:

m v 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}} {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}}

Použite teda rovnaké premenné ako predtým: Počiatočná kinetická energia je:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}}} {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}}

Konečná kinetická energia je:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. } {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.}

Ak stanovíme, že sa obe rovnajú (keďže celková kinetická energia zostáva rovnaká):

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. } {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.}

Ak tieto dve rovnice spojíme dohromady

Tieto rovnice sa dajú riešiť priamo, aby sa našlo vi , keď je známe ui alebo naopak. Tu je vzorový problém, ktorý možno riešiť buď pomocou zachovania hybnosti, alebo zachovania energie:

Napríklad:

Guľa 1: hmotnosť = 3 kg, v = 4 m/s

Guľa 2: hmotnosť = 5 kg, v = -6 m/s

Po zrážke:

Guľa 1: v = -8,5 m/s

Gulička 2: v = neznáma ( Budeme ju reprezentovať pomocou v )

Používanie zachovania hybnosti:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. } {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.}

  3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v} {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v}

Po vynásobení a následnom odčítaní 3 ∗ ( - 8,5 ) {\displaystyle 3*(-8,5)}{\displaystyle 3*(-8.5)} od oboch strán dostaneme:

  12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25,5=5*v} {\displaystyle \ 12-30+25.5=5*v}

Súčtom ľavej strany a následným delením číslom 5 {\displaystyle 5}{\displaystyle 5} dostaneme:

7,5 5 = v {\displaystyle {\frac {7,5}{5}}=v}{\displaystyle {\frac {7.5}{5}}=v} , a konečným delením dostaneme:   1,5 = v {\displaystyle \ 1,5=v} {\displaystyle \ 1.5=v}

Tento problém sme mohli vyriešiť aj pomocou zákona o zachovaní energie:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}}} {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}}

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8,5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}}{2}}} {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}}

Vynásobením oboch strán číslom 2 {\displaystyle 2}{\displaystyle 2} , a potom vykonaním všetkých potrebných násobení dostaneme:

  48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216,75+5v^{2}} {\displaystyle \ 48+180=216.75+5v^{2}}

Sčítaním čísel na ľavej strane, odčítaním 216,75 {\displaystyle 216,75}{\displaystyle 216.75} od oboch strán a delením 5 {\displaystyle 5}{\displaystyle 5} dostaneme:

  2,25 = v 2 {\displaystyle \ 2,25=v^{2}} {\displaystyle \ 2.25=v^{2}}

Ak z oboch strán vyrátame druhú odmocninu, dostaneme odpoveď v = ± 1,5 {\displaystyle v=\pm 1,5} {\displaystyle v=\pm 1.5}.

Nanešťastie by sme ešte museli použiť zachovanie hybnosti, aby sme zistili, či je v {\displaystyle v}{\displaystyle v} kladné alebo záporné.

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to pružná zrážka?

Odpoveď: Pružná zrážka je, keď sa dva objekty zrazia a odrazia sa späť s malou alebo žiadnou deformáciou.

Otázka: Čo je príkladom pružnej zrážky?

Odpoveď: Príkladom pružnej zrážky sú dve gumené loptičky, ktoré sa od seba odrážajú.

Otázka: Čo je nepružná zrážka?

Odpoveď: Nepružná zrážka je, keď sa dva predmety zrazia a zmrštia a neodrazia sa späť.

Otázka: Čo je príkladom nepružnej zrážky?

Odpoveď: Príkladom nepružnej zrážky sú dve autá, ktoré do seba narazia.

Otázka: Čo sa stane pri dokonale pružnej zrážke?

Odpoveď: Pri dokonale pružnej zrážke sa nestráca žiadna kinetická energia, takže kinetická energia oboch objektov po zrážke sa rovná ich celkovej kinetickej energii pred zrážkou.

Otázka: Ako dochádza k pružným zrážkam?

Odpoveď: K pružným zrážkam dochádza len vtedy, ak nedochádza k čistej premene kinetickej energie na iné formy, ako je teplo alebo zvuk.

Otázka: Čo sa pri pružnej zrážke zachováva?

Odpoveď: Pri pružnej zrážke sa zachováva hybnosť.

Súvisiace články

Autor

AlegsaOnline.com Elastická zrážka: definícia, princíp a zachovanie hybnosti

URL: https://sk.alegsaonline.com/art/30602

Zdieľať