Pružná zrážka

Jednorozmerný newtonovský

Uvažujme dve častice označené indexmi 1 a 2. Nech m₁ a m₂ sú hmotnosti, u₁ a u₂ sú rýchlosti pred zrážkou a v₁ a v₂ sú rýchlosti po zrážke.

Použitie zákona o zachovaní hybnosti na zápis jedného vzorca

Keďže ide o pružnú zrážku, celková hybnosť pred zrážkou je rovnaká ako celková hybnosť po zrážke. Vzhľadom na to, že hybnosť (p) sa vypočíta ako

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv}

Môžeme vypočítať, že hybnosť pred zrážkou je:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}

a hybnosť po zrážke je:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

Ak tieto dve rovnice stanovíme ako rovnaké, dostaneme našu prvú rovnicu:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

Použitie zákona o zachovaní energie na zápis druhého vzorca

Druhým pravidlom, ktoré používame, je, že celková kinetická energia zostáva rovnaká, čo znamená, že počiatočná kinetická energia sa rovná konečnej kinetickej energii.

Vzorec pre kinetickú energiu je:

m v 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}}

Použite teda rovnaké premenné ako predtým: Počiatočná kinetická energia je:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}}}

Konečná kinetická energia je:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. }

Ak stanovíme, že sa obe rovnajú (keďže celková kinetická energia zostáva rovnaká):

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. }

Ak tieto dve rovnice spojíme dohromady

Tieto rovnice sa dajú riešiť priamo, aby sa našlo v_i , keď je známe u_i alebo naopak. Tu je vzorový problém, ktorý možno riešiť buď pomocou zachovania hybnosti, alebo zachovania energie:

Napríklad:

Guľa 1: hmotnosť = 3 kg, v = 4 m/s

Guľa 2: hmotnosť = 5 kg, v = -6 m/s

Po zrážke:

Guľa 1: v = -8,5 m/s

Gulička 2: v = neznáma ( Budeme ju reprezentovať pomocou v )

Používanie zachovania hybnosti:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. }

  3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v}

Po vynásobení a následnom odčítaní 3 ∗ ( - 8,5 ) {\displaystyle 3*(-8,5)} od oboch strán dostaneme:

  12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25,5=5*v}

Súčtom ľavej strany a následným delením číslom 5 {\displaystyle 5} dostaneme:

7,5 5 = v {\displaystyle {\frac {7,5}{5}}=v} , a konečným delením dostaneme:   1,5 = v {\displaystyle \ 1,5=v}

Tento problém sme mohli vyriešiť aj pomocou zákona o zachovaní energie:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}}}

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8,5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}}{2}}}

Vynásobením oboch strán číslom 2 {\displaystyle 2} , a potom vykonaním všetkých potrebných násobení dostaneme:

  48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216,75+5v^{2}}

Sčítaním čísel na ľavej strane, odčítaním 216,75 {\displaystyle 216,75} od oboch strán a delením 5 {\displaystyle 5} dostaneme:

  2,25 = v 2 {\displaystyle \ 2,25=v^{2}}

Ak z oboch strán vyrátame druhú odmocninu, dostaneme odpoveď v = ± 1,5 {\displaystyle v=\pm 1,5} .

Nanešťastie by sme ešte museli použiť zachovanie hybnosti, aby sme zistili, či je v {\displaystyle v} kladné alebo záporné.