Jednotkový vektor — definícia, normalizácia a príklady

Jednotkový vektor: jasná definícia, praktický postup normalizácie a názorné príklady pre študentov i praktikov. Naučte sa previesť vektor na jednotkový krok za krokom.

Autor: Leandro Alegsa

22-01-2026 11:59

Jednotkový vektor je akýkoľvek vektor, ktorý má dĺžku jednej jednotky.

Jednotkové vektory sa často zapisujú rovnako ako normálne vektory, ale so značkou nad písmenom (napr. a ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {a}} } $\mathbf {\hat {a}}$ je jednotkový vektor a.)

Ak chcete z vektora urobiť jednotkový vektor, vydeľte ho jeho dĺžkou: u ^ = u / ‖ u ‖ {\displaystyle {\widehat {u}}=u/\lVert u\rVert } ${\widehat {u}}=u/\lVert u\rVert$

Definícia a vlastnosti

Jednotkový vektor vektor vektorového priestoru je vektor s dĺžkou (normou) rovnou 1, t. j. pre jednotkový vektor e platí ‖e‖ = 1. Medzi dôležité vlastnosti patria:

Jednotkový vektor má dĺžku 1: ‖e‖ = 1.
Ak je û jednotkový vektor získaný z vektora u, potom û je kolineárny s u (má rovnaký smer alebo opačný pri zápornom skalárnom násobení) a zachováva smer, ak sa delí kladnou normou.
Skalárny súčin jednotkového vektora so sebou samým je 1: û · û = 1.
Skalárny súčin dvoch jednotkových vektorov rovná sa kosínusu uhla medzi nimi: û · v̂ = cos θ.

Normalizácia (postup)

Postup, ak chcete z neprázdneho vektora u získať jeho jednotkovú verziu û:

Vypočítajte normu (dĺžku) vektora: ‖u‖ = sqrt(u1² + u2² + ... + un²).
Ak ‖u‖ = 0 (teda u je nulový vektor), normalizácia nie je možná — nulový vektor nemá smer.
Ak ‖u‖ ≠ 0, vydelte každý komponent vektora jeho normou: û = u / ‖u‖.

Príklady

Príklad 1 (v R²): Nech u = (3, 4). Najskôr normu:

‖u‖ = sqrt(3² + 4²) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5.

Jednotkový vektor:

û = (3/5, 4/5).

Príklad 2 (v R³): Nech v = (1, 2, 2). Norma:

‖v‖ = sqrt(1² + 2² + 2²) = sqrt(1 + 4 + 4) = sqrt(9) = 3.

Jednotkový vektor:

v̂ = (1/3, 2/3, 2/3).

Poznámka o opačnom smere: Ak máte vektor −u, jeho normalizovaný tvar bude −u/‖u‖, teda smer je opačný.

Bežné jednotkové vektory

V R² sú štandardné jednotkové vektory i = (1, 0) a j = (0, 1).
V R³ sú štandardné jednotkové vektory i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) (alebo e1, e2, e3).

Použitie

Jednotkové vektory sa často používajú pri:

určení smeru bez vplyvu veľkosti (napr. normály v počítačovej grafike),
výpočte uhla medzi vektormi pomocou skalárneho súčinu (pre jednotkové vektory stačí súčin rovný cos θ),
konštrukcii ortonormálnych báz a pri ortogonalizácii (Gram–Schmidt),
fyzikálnych aplikáciách, kde potrebujeme smer veličiny (napr. jednotkový vektor rýchlosti).

Dôležité varovanie: Nulový vektor nemožno normalizovať (delenie nulou nie je definované), preto vždy skontrolujte, či ‖u‖ ≠ 0 pred vykonaním normalizácie.

Vo forme komponentu

Tri bežné jednotkové vektory používané v zložkovom tvare sú i ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {i}} } $\mathbf {\hat {i}}$ , j ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {j}} } $\mathbf {\hat {j}}$ a k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } $\mathbf {\hat {k}}$ , ktoré sa vzťahujú na jednotkové vektory pre osi x, y a z. Bežne sa zapisujú len ako i, j a k.

Možno ich zapísať takto: i ^ = [ 1 0 0 ] , j ^ = [ 0 1 0 ] , k ^ = [ 0 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1&0&0\koniec{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0&1&0\koniec{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0&0&1\koniec{bmatrix}} $\mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}}$

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to jednotkový vektor?

Odpoveď: Jednotkový vektor je každý vektor, ktorý má dĺžku jedna.

Otázka: Ako sa zvyčajne zapisujú jednotkové vektory?

A: Jednotkové vektory sa zvyčajne zapisujú rovnako ako normálne vektory, ale s oblúčikom nad písmenom.

Otázka: Ako môžete z vektora urobiť jednotkový vektor?

Odpoveď: Ak chcete z vektora urobiť jednotkový vektor, musíte ho vydeliť jeho dĺžkou.

Otázka: Čo bude výsledkom toho, keď z vektora urobíte jednotkový vektor?

Odpoveď: Výsledný jednotkový vektor bude mať rovnaký smer ako pôvodný vektor.

Otázka: Existuje príklad, ako zapísať jednotkový vektor?

Odpoveď: Áno, napríklad v^{\displaystyle \mathbf {\hat {v}} } je zápis pre jednotkový vektor v{\displaystyle \mathbf {v} } .

Otázka: Dajú sa všetky vektory premeniť na jednotkové vektory?

Odpoveď: Áno, z každého typu vektora možno vytvoriť jednotkový vektor tak, že ho vydelíme jeho dĺžkou.

Prehľadať