Jednotkový vektor — definícia, normalizácia a príklady

Jednotkový vektor: jasná definícia, praktický postup normalizácie a názorné príklady pre študentov i praktikov. Naučte sa previesť vektor na jednotkový krok za krokom.

Jednotkový vektor je akýkoľvek vektor, ktorý má dĺžku jednej jednotky.

Jednotkové vektory sa často zapisujú rovnako ako normálne vektory, ale so značkou nad písmenom (napr. a ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {a}} } $\mathbf {\hat {a}}$ je jednotkový vektor a.)

Ak chcete z vektora urobiť jednotkový vektor, vydeľte ho jeho dĺžkou: u ^ = u / ‖ u ‖ {\displaystyle {\widehat {u}}=u/\lVert u\rVert } ${\widehat {u}}=u/\lVert u\rVert$

Definícia a vlastnosti

Jednotkový vektor vektor vektorového priestoru je vektor s dĺžkou (normou) rovnou 1, t. j. pre jednotkový vektor e platí ‖e‖ = 1. Medzi dôležité vlastnosti patria:

Jednotkový vektor má dĺžku 1: ‖e‖ = 1.
Ak je û jednotkový vektor získaný z vektora u, potom û je kolineárny s u (má rovnaký smer alebo opačný pri zápornom skalárnom násobení) a zachováva smer, ak sa delí kladnou normou.
Skalárny súčin jednotkového vektora so sebou samým je 1: û · û = 1.
Skalárny súčin dvoch jednotkových vektorov rovná sa kosínusu uhla medzi nimi: û · v̂ = cos θ.

Normalizácia (postup)

Postup, ak chcete z neprázdneho vektora u získať jeho jednotkovú verziu û:

Vypočítajte normu (dĺžku) vektora: ‖u‖ = sqrt(u1² + u2² + ... + un²).
Ak ‖u‖ = 0 (teda u je nulový vektor), normalizácia nie je možná — nulový vektor nemá smer.
Ak ‖u‖ ≠ 0, vydelte každý komponent vektora jeho normou: û = u / ‖u‖.

Príklady

Príklad 1 (v R²): Nech u = (3, 4). Najskôr normu:

‖u‖ = sqrt(3² + 4²) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5.

Jednotkový vektor:

û = (3/5, 4/5).

Príklad 2 (v R³): Nech v = (1, 2, 2). Norma:

‖v‖ = sqrt(1² + 2² + 2²) = sqrt(1 + 4 + 4) = sqrt(9) = 3.

Jednotkový vektor:

v̂ = (1/3, 2/3, 2/3).

Poznámka o opačnom smere: Ak máte vektor −u, jeho normalizovaný tvar bude −u/‖u‖, teda smer je opačný.

Bežné jednotkové vektory

V R² sú štandardné jednotkové vektory i = (1, 0) a j = (0, 1).
V R³ sú štandardné jednotkové vektory i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) (alebo e1, e2, e3).

Použitie

Jednotkové vektory sa často používajú pri:

určení smeru bez vplyvu veľkosti (napr. normály v počítačovej grafike),
výpočte uhla medzi vektormi pomocou skalárneho súčinu (pre jednotkové vektory stačí súčin rovný cos θ),
konštrukcii ortonormálnych báz a pri ortogonalizácii (Gram–Schmidt),
fyzikálnych aplikáciách, kde potrebujeme smer veličiny (napr. jednotkový vektor rýchlosti).

Dôležité varovanie: Nulový vektor nemožno normalizovať (delenie nulou nie je definované), preto vždy skontrolujte, či ‖u‖ ≠ 0 pred vykonaním normalizácie.