Vlnová transformácia

Vlnková transformácia je časovo-frekvenčná reprezentácia signálu. Používame ju napríklad na redukciu šumu, extrakciu príznakov alebo kompresiu signálu.

Vlnová transformácia spojitého signálu je definovaná ako

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

kde

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ je tzv. materský wavelet,
a {\displaystyle a} označuje vlnkovú dilatáciu,
b {\displaystyle b} $b$ označuje časový posun waveletu a
$*$ Symbol ∗ {\displaystyle *} označuje komplexný konjugát.

V prípade a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}} $a={a_{0}}^{m}$ a b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} $b={a_{0}}^{m}kT$ kde a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} $a_{0}>1$ , T > 0 {\displaystyle T>0} a m $T>0$ {\displaystyle m} a k {\displaystyle k} sú celočíselné konštanty, vlnková transformácia sa nazýva diskrétna vlnková transformácia (spojitého signálu).

V prípade a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ a b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ kde m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ , diskrétna vlnková transformácia sa nazýva dyadická. Je definovaná ako

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

kde

m {\displaystyle m} je frekvenčná stupnica,
k {\displaystyle k} je časová stupnica a
T {\displaystyle T} $T$ je konštanta, ktorá závisí od materského waveletu.

Diadickú diskrétnu vlnkovú transformáciu je možné prepísať ako

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

kde h m {\displaystyle h_{m}} $h_{m}$ je impulzná charakteristika spojitého filtra, ktorá je totožná s ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} ${\psi _{m}}^{*}$ pre dané m {\displaystyle m} .

Analogicky je dyadická waveletová transformácia s diskrétnym časom (diskrétneho signálu) definovaná ako

Spojitá vlnková transformácia signálu frekvenčného rozkladu. Použitý symlet s 5 miznúcimi momentmi.

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to vlnková transformácia?

Odpoveď: Vlnková transformácia je časovo-frekvenčná reprezentácia signálu, ktorá sa používa na redukciu šumu, extrakciu vlastností alebo kompresiu signálu.

Otázka: Ako je definovaná waveletová transformácia spojitých signálov?

Odpoveď: Waveletová transformácia spojitých signálov je definovaná ako integrál nad všetkými hodnotami funkcie vynásobený materským waveletom, kde parametre "a" a "b" označujú dilatáciu, resp. časový posun.

Otázka: Čo sú to dyadické diskrétne waveletové transformácie?

Odpoveď: Dyadické diskrétne waveletové transformácie sú diskrétne verzie bežných diskrétnych waveletových transformácií s frekvenčnou stupnicou "m", časovou stupnicou "k" a konštantou "T". Možno ich prepísať ako integrál nad všetkými hodnotami funkcie vynásobený impulzným charakteristickým filtrom, ktorý je identický s materským waveletom pre dané m.

Otázka: Na čo sa v tomto kontexte vzťahuje pojem "materský wavelet"?

Odpoveď: V tomto kontexte sa "materské wavelety" vzťahujú na funkcie, ktoré sa používajú v spojení s inými funkciami na vytvorenie základu pre výpočet určitého typu transformácie (v tomto prípade Waveletovej transformácie).

Otázka: Ako sa počítajú diadické diskrétne Wavelety?

Odpoveď: Dyadické diskrétne Wavelety sa počítajú pomocou integrálu cez všetky hodnoty funkcie vynásobené impulzným charakteristickým filtrom, ktorý je identický s materským waveletom pre dané m. Okrem toho vyžadujú ako parametre frekvenčnú škálu m, časovú škálu k a konštantu T.

Otázka: Čo predstavujú "a" a "b" pri definovaní spojitých waveletov?

Odpoveď: Pri definovaní spojitých Waveletov "a" predstavuje dilatáciu, zatiaľ čo "b" predstavuje časový posun.