Wavelet

Wavelet je matematická funkcia, ktorá sa používa na zápis funkcie alebo signálu v podobe iných funkcií, ktoré sú jednoduchšie na štúdium. Mnohé úlohy spracovania signálov možno vnímať z hľadiska vlnkovej transformácie. Neformálne povedané, signál možno vidieť pod objektívom so zväčšením daným mierkou waveletu. Pritom môžeme vidieť len informácie, ktoré sú určené tvarom použitého waveletu.

Anglický termín "wavelet" zaviedli začiatkom 80. rokov 20. storočia francúzski fyzici Jean Morlet a Alex Grossman. Použili francúzske slovo "ondelette" (čo znamená "malá vlna"). Neskôr sa toto slovo dostalo do angličtiny prekladom "onde" na "vlna", čím vznikol "wavelet".

Wavelet je (komplexná) funkcia z Hilbertovho priestoru ψ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \v L^{2}(\mathbb {R} )}{\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} . Pre praktické aplikácie by mal spĺňať nasledujúce podmienky.

Musí mať konečnú energiu.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty }

Musí spĺňať podmienku prípustnosti.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{{hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \nad {\omega }}d\omega <\infty } {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty }, kde ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}}{\displaystyle {\hat {\psi }}} je Fourierova transformácia ψ {\displaystyle \psi \,} {\displaystyle \psi \,}

Podmienka nulového priemeru vyplýva z podmienky prípustnosti.

∫ - ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0}

Funkcia ψ {\displaystyle \psi \,}{\displaystyle \psi \,} sa nazýva materský wavelet. Jej preložená (posunutá) a rozšírená (zmenšená) normalizovaná verzia sú definované takto.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)} {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)}

Pôvodný materský wavelet má parametre a = 1 {\displaystyle a=1}{\displaystyle a=1} a b = 0 {\displaystyle b=0}{\displaystyle b=0} . Translácia je opísaná parametrom b {\displaystyle b}{\displaystyle b} a dilatácia parametrom a {\displaystyle a}a.

Morletov waveletZoom
Morletov wavelet

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to wavelet?


Odpoveď: Wavelet je matematická funkcia, ktorá sa používa na zápis funkcie alebo signálu v podobe iných funkcií, ktoré sú jednoduchšie na štúdium. Môžeme ju vidieť pod objektívom so zväčšením daným mierkou waveletu, čo nám umožňuje vidieť len informácie určené jej tvarom.

Otázka: Kto zaviedol pojem "wavelet"?


Odpoveď: Anglický termín "wavelet" zaviedli začiatkom 80. rokov 20. storočia francúzski fyzici Jean Morlet a Alex Grossman, ktorí použili francúzske slovo "ondelette" (čo znamená "malá vlna"). Neskôr sa toto slovo dostalo do angličtiny preložením "onde" na "wave", čím vznikol "wavelet".

Otázka: Čo musí spĺňať wavelet, aby sa dal použiť v praxi?


Odpoveď: Pre praktické aplikácie musí mať wavelet konečnú energiu a spĺňať podmienku prípustnosti. Táto podmienka prípustnosti hovorí, že musí mať nulovú strednú hodnotu a musí tiež spĺňať integrál cez frekvenciu, ktorý je menší ako nekonečno.

Otázka: Čo sa myslí pod pojmami translácia a dilatácia, keď sa hovorí o waveletoch?


Odpoveď: Translácia sa vzťahuje na posun alebo presun materského waveletu pozdĺž časovej osi, zatiaľ čo dilatácia sa vzťahuje na škálovanie alebo roztiahnutie/zmenšenie materských waveletov pozdĺž časovej osi. Tieto dva parametre (translácia a dilatácia) sú opísané písmenami b, resp. a.

Otázka: Čo znamená, že wavelet má nulovú strednú hodnotu?


Odpoveď: Nulová stredná hodnota znamená, že pri integrovaní cez všetky hodnoty t od záporného nekonečna po kladné nekonečno by sa mal súčet rovnať 0, t. j. ∫-∞∞ψ(t)dt=0 . Táto požiadavka vyplýva zo samotnej podmienky prípustnosti, ako bolo uvedené vyššie.

Otázka: Ako je definovaná materská vlnoplocha?


Odpoveď: Materské vlnky sú definované ako normalizované verzie preloženej (posunutej) a rozšírenej (zmenšenej) verzie pôvodných materských vlniek, ktoré majú parametre "a" = 1 a "b" = 0 .

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3