Zenónove paradoxy

Achilles a korytnačka

V paradoxe o Achillovi a korytnačke sa Achilles zúčastňuje na pretekoch s korytnačkou. Achilles umožní korytnačke napríklad náskok 100 metrov. Predpokladajme, že každý pretekár začne bežať konštantnou rýchlosťou, jeden veľmi rýchlo a druhý veľmi pomaly. Po určitom konečnom čase Achilles prebehne 100 metrov, čím sa dostane na miesto štartu korytnačky. Počas tohto času pomalšia korytnačka prebehla oveľa kratšiu vzdialenosť. Achillovi potom bude trvať ešte nejaký čas, kým túto vzdialenosť prebehne, a korytnačka sa za ten čas posunie ďalej. Achillovi potom bude trvať ešte dlhšie, kým dosiahne tento tretí bod, zatiaľ čo korytnačka sa opäť posunie dopredu. Teda vždy, keď sa Achilles dostane na miesto, kde bola korytnačka, má pred sebou ešte dlhší úsek. Pretože existuje nekonečný počet bodov, ktoré musí Achilles dosiahnuť tam, kde už korytnačka bola, nikdy nemôže korytnačku predbehnúť.

Paradox dichotómie

Predpokladajme, že sa niekto chce dostať z bodu A do bodu B. Najprv sa musí presunúť na polovicu cesty. Potom musí prejsť polovicu zostávajúcej cesty. Pokračujúc týmto spôsobom, vždy zostane nejaká malá vzdialenosť a cieľ by sa v skutočnosti nikdy nedosiahol. Vždy bude potrebné pridať ďalšie číslo v rade, napríklad 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + .... Takže pohyb z ľubovoľného bodu A do ľubovoľného iného bodu B sa považuje za nemožný.

Komentár

V tom teda spočíva Zenónov paradox: oba obrazy skutočnosti nemôžu byť pravdivé súčasne. Z toho vyplýva, že buď: 1. Niečo nie je v poriadku s tým, ako vnímame spojitú povahu času, 2. v skutočnosti neexistuje nič také ako diskrétne alebo prírastkové množstvá času, vzdialenosti alebo možno čohokoľvek iného, alebo 3. Existuje tretí obraz reality, ktorý zjednocuje tieto dva obrazy - matematický a zdravý rozum alebo filozofický - a ktorý zatiaľ nemáme nástroje na jeho úplné pochopenie.

Navrhované riešenia

Málokto by sa stavil, že korytnačka vyhrá preteky s atlétom. Čo je však na tomto argumente zlé?

Keď začneme sčítavať členy radu 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...., môžeme si všimnúť, že súčet sa čoraz viac približuje k 1 a nikdy neprekročí 1. Aristoteles (ktorý je zdrojom väčšiny toho, čo vieme o Zenónovi) si všimol, že s klesajúcou vzdialenosťou (v paradoxe dichotómie) sa čas potrebný na prekonanie každej vzdialenosti mimoriadne zmenšuje. Pred rokom 212 pred n. l. Archimedes vyvinul metódu na odvodenie konečnej odpovede pre súčet nekonečne mnohých členov, ktoré sa postupne zmenšujú (napríklad 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...). Moderný kalkulus dosahuje rovnaký výsledok pomocou prísnejších metód.

Niektorí matematici, ako napríklad w:Carl Boyer, zastávajú názor, že Zenónove paradoxy sú jednoducho matematické problémy, pre ktoré moderný kalkul poskytuje matematické riešenie. Zenónove otázky však zostávajú problematické, ak sa pristupuje k nekonečnému radu krokov, krok za krokom. To je známe ako superúloha. Kalkul v skutočnosti nezahŕňa sčítavanie čísel po jednom. Namiesto toho určuje hodnotu (nazývanú limita), ku ktorej sa sčítanie blíži.

Pozri články na anglickej Wikipédii

• Zenónove paradoxy
• Kvadratúra paraboly
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + - - -
• Thompsonova lampa