Diferenciálny a integrálny počet

História

V 70. a 80. rokoch 16. storočia sir Isaac Newton v Anglicku a Gottfried Leibniz v Nemecku prišli na kalkulus v rovnakom čase, pričom pracovali oddelene jeden od druhého. Newton chcel mať nový spôsob, ako predpovedať, kde na oblohe vidieť planéty, pretože astronómia bola vždy populárnou a užitočnou formou vedy a vedieť viac o pohyboch objektov na nočnej oblohe bolo dôležité pre navigáciu lodí. Leibniz chcel merať priestor (plochu) pod krivkou (priamkou, ktorá nie je rovná). O mnoho rokov neskôr sa títo dvaja muži sporili o to, kto ju objavil ako prvý. Vedci z Anglicka podporovali Newtona, ale vedci zo zvyšku Európy podporovali Leibniza. Väčšina matematikov sa dnes zhoduje na tom, že obaja muži majú rovnaké zásluhy. Niektoré časti moderného kalkulu pochádzajú od Newtona, napríklad jeho použitie vo fyzike. Iné časti pochádzajú od Leibniza, napríklad symboly používané na jeho zápis.

Neboli prvými ľuďmi, ktorí použili matematiku na opis fyzikálneho sveta - Aristoteles a Pytagoras boli prvými, rovnako ako Galileo Galilei, ktorý povedal, že matematika je jazykom vedy. Newton aj Leibniz však ako prví navrhli systém, ktorý opisuje, ako sa veci menia v čase, a dokáže predpovedať, ako sa budú meniť v budúcnosti.

Názov "calculus" pochádza z latinčiny a označuje malý kameň, ktorý starí Rimania používali pri počítaní a hazardných hrách. Anglické slovo "calculate" pochádza z toho istého latinského slova.

Diferenciálny počet

Diferenciálny počet sa používa na zistenie rýchlosti zmeny premennej v porovnaní s inou premennou.

V reálnom svete sa dá použiť na určenie rýchlosti pohybujúceho sa objektu alebo na pochopenie fungovania elektriny a magnetizmu. Je veľmi dôležitý pre pochopenie fyziky a mnohých ďalších oblastí vedy.

Diferenciálny počet je užitočný aj na tvorbu grafov. Možno ho použiť na zistenie sklonu krivky a najvyššieho a najnižšieho bodu (tieto body sa nazývajú maximum a minimum) krivky.

Premenné môžu meniť svoju hodnotu. To je rozdiel oproti číslam, pretože čísla sú vždy rovnaké. Napríklad číslo 1 sa vždy rovná 1 a číslo 200 sa vždy rovná 200. Premenné sa často zapisujú ako písmená, napríklad písmeno x. "X" sa môže v jednom bode rovnať 1 a v inom bode 200.

Príkladmi premenných sú vzdialenosť a čas, pretože sa môžu meniť. Rýchlosť objektu je to, ako ďaleko prejde za určitý čas. Ak je teda mesto vzdialené 80 kilometrov a človek v aute sa tam dostane za jednu hodinu, prešiel priemernou rýchlosťou 80 kilometrov za hodinu. Je to však len priemer - možno v niektorých momentoch cestovali rýchlejšie (na diaľnici) a v iných pomalšie (na semafore alebo na malej ulici, kde žijú ľudia). Predstavte si vodiča, ktorý sa snaží zistiť rýchlosť auta len pomocou jeho odometra (merača vzdialenosti) a hodín, bez tachometra!

Kým nebol vynájdený počet, jediným spôsobom, ako to zistiť, bolo rozdeliť čas na menšie a menšie časti, takže priemerná rýchlosť za menší čas sa stále viac približovala skutočnej rýchlosti v danom časovom okamihu. Bol to veľmi zdĺhavý a náročný proces a musel sa robiť vždy, keď ľudia chceli niečo vyriešiť.

Veľmi podobným problémom je nájsť sklon (ako je strmý) v ľubovoľnom bode krivky. Sklon priamky sa dá ľahko vypočítať - je to jednoducho to, o koľko stúpa (y alebo vertikálne) delené tým, o koľko ide naprieč (x alebo horizontálne). Na krivke je však sklon premenná veličina (má rôzne hodnoty v rôznych bodoch), pretože priamka sa ohýba. Ak by sme však krivku rozrezali na veľmi, veľmi malé kúsky, krivka v danom bode by vyzerala takmer ako veľmi krátka priamka. Aby sme teda zistili jej sklon, môžeme cez bod narysovať priamku s rovnakým sklonom, aký má krivka v tomto bode. Ak sa to urobí presne, priamka bude mať rovnaký sklon ako krivka a nazýva sa dotyčnica. Neexistuje však spôsob, ako zistiť (bez veľmi zložitej matematiky), či je dotyčnica presne správna, a naše oči nie sú dostatočne presné, aby sme si mohli byť istí, či je presná, alebo len veľmi blízka.

Newton a Leibniz našli spôsob, ako presne určiť sklon (alebo rýchlosť v príklade vzdialenosti) pomocou jednoduchých a logických pravidiel. Krivku rozdelili na nekonečný počet veľmi malých častí. Potom si vybrali body na oboch stranách rozsahu, ktorý ich zaujímal, a v každom z nich vypočítali dotyčnice. Keď sa body približovali k bodu, ktorý ich zaujímal, sklon sa blížil k určitej hodnote, pretože dotyčnice sa približovali k skutočnému sklonu krivky. Konkrétna hodnota, ku ktorej sa približovala, bola skutočným sklonom.

Povedzme, že máme funkciu y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} . f je skratka pre funkciu, takže táto rovnica znamená "y je funkcia x". To nám hovorí, že to, ako vysoko je y na zvislej osi, závisí od toho, aké je v danom čase x (vodorovná os). Napríklad pri rovnici y = x {\displaystyle2 y=x^{2}} vieme, že ak x {\displaystyle x} je 1, potom y {\displaystyle y} bude 1; ak x {\displaystyle x} je 3, potom y {\displaystyle y} bude 9; ak x {\displaystyle x} je 20, potom y {\displaystyle y} bude 400. Derivácia vytvorená touto metódou je x 2{\displaystyle 2x} alebo 2 vynásobené x {\displaystyle x} . Takže bez toho, aby sme museli kresliť nejaké dotyčnice, vieme, že v ľubovoľnom bode krivky f ( x ) = x {\displaystyle2 f(x)=x^{2}} , derivácia f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} (označená symbolom prvočísla), bude v každom bode x 2{\displaystyle 2x}. Tento postup určovania sklonu pomocou limit sa nazýva diferenciácia alebo hľadanie derivácie.

Matematický zápis derivácie je nasledovný: f ′ ( x ) = lim h → f0 ( x + h ) - f ( x ) h . {\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}. }

Leibniz dospel k rovnakému výsledku, ale nazval ho h " d x {\displaystyle dx} ", čo znamená "vzhľadom na x". Výslednú zmenu f ( x ) nazval {\displaystyle f(x)} " d y {\displaystyle dy} ", čo znamená "malá časť y". Leibnizov zápis sa používa vo viacerých knihách, pretože je ľahko pochopiteľný, keď sa rovnice stanú zložitejšími. V Leibnizovom zápise: d y d x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}

Matematici túto základnú teóriu rozvinuli a vytvorili jednoduché algebrické pravidlá, ktoré možno použiť na nájdenie derivácie takmer každej funkcie.

Na krivke majú dva rôzne body rôzne sklony. Červená a modrá čiara sú dotyčnice ku krivke.


Obrázok, ktorý ukazuje, čo na krivke znamenajú x a x + h.

Integrálny počet

Integrálny počet je proces výpočtu plochy pod grafom funkcie. Príkladom je výpočet vzdialenosti, ktorú prejde auto: ak poznáte rýchlosť auta v rôznych časových bodoch a nakreslíte graf tejto rýchlosti, potom vzdialenosť, ktorú auto prejde, bude plocha pod grafom.

To sa dá dosiahnuť tak, že graf rozdelíte na veľa veľmi malých častí a pod každú časť nakreslíte veľmi tenké obdĺžniky. Ako sa obdĺžniky stávajú tenšími a tenšími, pokrývajú plochu pod grafom čoraz lepšie. Plocha obdĺžnika sa dá ľahko vypočítať, takže môžeme vypočítať celkovú plochu všetkých obdĺžnikov. Pri tenších obdĺžnikoch sa táto hodnota celkovej plochy približuje ploche pod grafom. Výsledná hodnota plochy sa nazýva integrál funkcie.

V matematike sa integrál funkcie f(x) z a do b zapisuje ako ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} .

Plochu pod krivkou môžeme približne určiť tak, že sčítame plochy mnohých obdĺžnikov pod krivkou. Čím viac obdĺžnikov použijeme, tým lepšia bude naša aproximácia.


Integrácia spočíva v nájdení plôch daných a, b a y = f(x).

Hlavná myšlienka kalkulu

Hlavná myšlienka kalkulu sa nazýva základná veta kalkulu. Táto hlavná myšlienka hovorí, že dva počtové postupy, diferenciálny a integrálny počet, sú protikladné. To znamená, že človek môže použiť diferenciálny počet na zrušenie procesu integrálneho počtu. Takisto môže človek použiť integrálny kalkul na zrušenie metódy diferenciálneho kalkulu. Je to rovnaké, ako keby ste použili delenie na "zrušenie" násobenia alebo sčítanie na "zrušenie" odčítania.

V jednej vete znie základná veta približne takto: "Derivácia integrálu funkcie f je funkcia sama".

Ďalšie použitie kalkulu

Kalkul sa používa na opis vecí, ktoré sa menia, napríklad vecí v prírode. Môže sa použiť na zobrazenie a učenie sa o nich:

• Ako sa vlny pohybujú. Vlny sú v prírode veľmi dôležité. Napríklad zvuk a svetlo si môžeme predstaviť ako vlny.
• Tam, kde sa teplo pohybuje, ako v dome. To je užitočné pre architektúru (stavbu domov), aby bolo vykurovanie domu čo najlacnejšie.
• Ako sa správajú veľmi malé veci, napríklad atómy.
• Ako rýchlo niečo padá, známe aj ako gravitácia.
• Ako fungujú stroje, známe aj ako mechanika.
• Dráha Mesiaca pri jeho pohybe okolo Zeme. Tiež dráha Zeme pri jej pohybe okolo Slnka a každej planéty alebo mesiaca pohybujúceho sa okolo čohokoľvek vo vesmíre.