Lorentzov faktor je faktor, o ktorý sa mení čas, dĺžka a hmotnosť objektu pohybujúceho sa rýchlosťou blízkou rýchlosti svetla (relativistické rýchlosti).
Rovnica znie:
γ = 1 1 - ( v c ) 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}} 
kde v je rýchlosť objektu a c je rýchlosť svetla. Veličina (v/c) sa často označuje ako β {\displaystyle \beta } 
(beta), a tak možno uvedenú rovnicu prepísať:
γ = 1 / √(1 − β²), kde β = v/c (toto je ekvivalentný tvar k predchádzajúcej rovnici).
Význam Lorentzovho faktora
Lorentzov faktor γ je bezrozmerná veličina, ktorá sa v špeciálnej teórii relativity objavuje pri transformáciách medzi inerciálnymi sústavami pohybujúcimi sa relatívne rýchlo. Má priame dôsledky na fyzikálne javy:
- Dilácia času: časový interval meraný pozorovateľom v sústave, kde sa objekt pohybuje, je predĺžený. Ak τ je vlastný čas (čas meraný v sústave, v ktorej je meraná udalosť v pokoji), potom vonkajší čas t = γ·τ.
- Kontrakcia dĺžok: dĺžka objektu v smere pohybu sa skracuje podľa L = L0/γ, kde L0 je dĺžka v kľudovej sústave objektu.
- Energia a hybnosť: kinetická energia a hybnosť častíc závisia od γ. Pre hmotný objekt s kľudovou hmotnosťou m platí E = γ m c² a p = γ m v. Súvisí to aj so známym vzťahom E² = (pc)² + (mc²)².
- Limit pri v → c: γ → ∞, čo vysvetľuje, prečo nemožno dosiahnuť rýchlosť svetla pre hmotné častice pri konečnom vstupe energie.
Praktické príklady a približné hodnoty
Pre lepšiu predstavu, ako rýchlo γ rastie so zvyšovaním v/c, uvádzame niekoľko hodnôt:
- v = 0,1 c → γ ≈ 1,005
- v = 0,5 c → γ ≈ 1,1547
- v = 0,8 c → γ ≈ 1,6667
- v = 0,9 c → γ ≈ 2,294
- v = 0,99 c → γ ≈ 7,09
- v = 0,999 c → γ ≈ 22,37
Asymptotické správanie a nízkorýchlostná aproximácia
Pre veľmi malé rýchlosti v ≪ c (teda β ≪ 1) sa Lorentzov faktor dá rozvinúť do Taylorovho radu:
γ ≈ 1 + 1/2 β² + 3/8 β^4 + ... , takže pri bežných rýchlostiach (autá, lietadlá) je γ veľmi blízko jednej a relativistické efekty sú zanedbateľné.
Ďalšie poznámky
- Relativistická „relativistická hmotnosť“: historicky sa hovorilo, že hmotnosť „rastie“ ako γm. Moderná fyzika uprednostňuje používanie invariantnej (kľudovej) hmotnosti m a zahrnutie γ do energie a hybnosti.
- Experimentálne potvrdenie: dilácia času bola priamo pozorovaná napr. pri predĺžení života kozmicých miónov vstupujúcich do atmosféry a v urýchľovačoch častíc, kde častice dosahujú veľké γ.
- Matematický pôvod: γ vyplýva z Lorentzových transformácií, ktoré zabezpečujú, aby rýchlosť svetla c bola rovnaká vo všetkých inerciálnych sústavách a aby Maxwellove rovnice boli invariantné.
- Rýchlostná paráda: Lorentzov faktor súvisí aj s pojmom rapidity y, kde γ = cosh(y) a β = tanh(y). Rapidita sa často používa v časticovej fyzike namiesto priamych rýchlostí pri veľmi vysokých energiách.
Zhrnutie: Lorentzov faktor γ je kľúčová veličina špeciálnej relativity, ktorá určuje, ako sa menia čas, dĺžka, energia a hybnosť pri relatívnych rýchlostiach. Je bezrozmerný a pri v blížiacom sa k c rastie neobmedzene, čo je základným dôvodom nemožnosti dosiahnuť rýchlosť svetla pre objekty s nenulovou kľudovou hmotnosťou.
