Lorentzov faktor γ — definícia, vzorec a význam v špeciálnej relativite
Lorentzov faktor γ: definícia, vzorec γ=1/√(1-(v/c)^2) a význam v špeciálnej relativite — časová dilatácia, skracovanie dĺžok a relativistická hmotnosť.
Lorentzov faktor je faktor, o ktorý sa mení čas, dĺžka a hmotnosť objektu pohybujúceho sa rýchlosťou blízkou rýchlosti svetla (relativistické rýchlosti).
Rovnica znie:
γ = 1 1 - ( v c ) 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}} 
kde v je rýchlosť objektu a c je rýchlosť svetla. Veličina (v/c) sa často označuje ako β {\displaystyle \beta } 
(beta), a tak možno uvedenú rovnicu prepísať:
γ = 1 / √(1 − β²), kde β = v/c (toto je ekvivalentný tvar k predchádzajúcej rovnici).
Význam Lorentzovho faktora
Lorentzov faktor γ je bezrozmerná veličina, ktorá sa v špeciálnej teórii relativity objavuje pri transformáciách medzi inerciálnymi sústavami pohybujúcimi sa relatívne rýchlo. Má priame dôsledky na fyzikálne javy:
- Dilácia času: časový interval meraný pozorovateľom v sústave, kde sa objekt pohybuje, je predĺžený. Ak τ je vlastný čas (čas meraný v sústave, v ktorej je meraná udalosť v pokoji), potom vonkajší čas t = γ·τ.
- Kontrakcia dĺžok: dĺžka objektu v smere pohybu sa skracuje podľa L = L0/γ, kde L0 je dĺžka v kľudovej sústave objektu.
- Energia a hybnosť: kinetická energia a hybnosť častíc závisia od γ. Pre hmotný objekt s kľudovou hmotnosťou m platí E = γ m c² a p = γ m v. Súvisí to aj so známym vzťahom E² = (pc)² + (mc²)².
- Limit pri v → c: γ → ∞, čo vysvetľuje, prečo nemožno dosiahnuť rýchlosť svetla pre hmotné častice pri konečnom vstupe energie.
Praktické príklady a približné hodnoty
Pre lepšiu predstavu, ako rýchlo γ rastie so zvyšovaním v/c, uvádzame niekoľko hodnôt:
- v = 0,1 c → γ ≈ 1,005
- v = 0,5 c → γ ≈ 1,1547
- v = 0,8 c → γ ≈ 1,6667
- v = 0,9 c → γ ≈ 2,294
- v = 0,99 c → γ ≈ 7,09
- v = 0,999 c → γ ≈ 22,37
Asymptotické správanie a nízkorýchlostná aproximácia
Pre veľmi malé rýchlosti v ≪ c (teda β ≪ 1) sa Lorentzov faktor dá rozvinúť do Taylorovho radu:
γ ≈ 1 + 1/2 β² + 3/8 β^4 + ... , takže pri bežných rýchlostiach (autá, lietadlá) je γ veľmi blízko jednej a relativistické efekty sú zanedbateľné.
Ďalšie poznámky
- Relativistická „relativistická hmotnosť“: historicky sa hovorilo, že hmotnosť „rastie“ ako γm. Moderná fyzika uprednostňuje používanie invariantnej (kľudovej) hmotnosti m a zahrnutie γ do energie a hybnosti.
- Experimentálne potvrdenie: dilácia času bola priamo pozorovaná napr. pri predĺžení života kozmicých miónov vstupujúcich do atmosféry a v urýchľovačoch častíc, kde častice dosahujú veľké γ.
- Matematický pôvod: γ vyplýva z Lorentzových transformácií, ktoré zabezpečujú, aby rýchlosť svetla c bola rovnaká vo všetkých inerciálnych sústavách a aby Maxwellove rovnice boli invariantné.
- Rýchlostná paráda: Lorentzov faktor súvisí aj s pojmom rapidity y, kde γ = cosh(y) a β = tanh(y). Rapidita sa často používa v časticovej fyzike namiesto priamych rýchlostí pri veľmi vysokých energiách.
Zhrnutie: Lorentzov faktor γ je kľúčová veličina špeciálnej relativity, ktorá určuje, ako sa menia čas, dĺžka, energia a hybnosť pri relatívnych rýchlostiach. Je bezrozmerný a pri v blížiacom sa k c rastie neobmedzene, čo je základným dôvodom nemožnosti dosiahnuť rýchlosť svetla pre objekty s nenulovou kľudovou hmotnosťou.
Klasická relativita
Klasická teória relativity hovorí, že ak hodíte loptu rýchlosťou 50 míľ za hodinu a zároveň bežíte rýchlosťou 5 míľ za hodinu, lopta sa pohybuje rýchlosťou 55 míľ za hodinu. Samozrejme, loptička sa od vás stále vzďaľuje rýchlosťou 50 mph, takže ak by sa vás niekto spýtal, videli by ste, že loptička cestuje rýchlosťou 50 mph. Medzitým váš priateľ Rory videl, že ste náhodou bežali rýchlosťou 5 míľ za hodinu. Povedal by, že lopta sa pohybovala rýchlosťou 55 míľ za hodinu. Obaja máte pravdu, len ste sa náhodou pohybovali spolu s loptou.
Rýchlosť svetla c je 670 616 629 míľ za hodinu. Ak teda sedíte v aute, ktoré sa pohybuje polovičnou rýchlosťou svetla (0,5 c), a zapnete svetlá, svetlo sa od vás vzďaľuje rýchlosťou 1 c... alebo je to 1,5 c? V konečnom dôsledku je c c bez ohľadu na to, čo sa deje. V ďalšej časti sa vysvetľuje, prečo to nie je c - 0,5c.
Dilatácia času
Keď sú hodiny v pohybe, tikajú pomalšie o malý faktor γ {\displaystyle \gamma } 
. Slávny paradox dvojčiat hovorí, že ak by existovali dve dvojčatá a dvojča A by zostalo na Zemi, zatiaľ čo dvojča B by niekoľko rokov cestovalo v blízkosti c, keď by sa dvojča B vrátilo na Zem, bolo by o mnoho rokov mladšie ako dvojča A (pretože zažilo menej času). Napríklad, ak by dvojča B odišlo, keď malo 20 rokov, a 10 rokov by cestovalo rýchlosťou 0,9c, potom by dvojča B malo po návrate na Zem 30 rokov (20 rokov + 10 rokov) a dvojča A by malo takmer 43 rokov:
20 + ( 10 ∗ 1 1 - . 9 2 ) = 42,9416 {\displaystyle 20+(10*{\frac {1}{\sqrt {1-.9^{2}}}})=42,9416} 
Dvojča B by si vôbec nevšimlo, že sa čas spomalil. Keby sa pozrel z okna, zdalo by sa mu, že sa vesmír pohybuje okolo neho, a teda pomalšie (nezabudnite, že pre neho je v pokoji). Takže čas je relatívny.
Kontrakcia dĺžky
Veci sa skracujú v smere pohybu, keď sa pohybujú relativistickou rýchlosťou. Počas cesty dvojčaťa B si všimne niečo zvláštne na vesmíre. Všimol by si, že sa skrátil (zmenšil v smere jeho pohybu). A faktor, o ktorý sa veci skracujú, je γ {\displaystyle \gamma }. .
Relativistická hmotnosť
Relativistická hmotnosť sa tiež zvyšuje. Je ťažšie ich tlačiť. Takže v čase, keď dosiahnete 0,9999c, potrebujete veľmi veľkú silu, aby ste išli rýchlejšie. To znemožňuje, aby čokoľvek dosiahlo rýchlosť svetla.
Ak sa však pohybujete o niečo pomalšie, napríklad 90 % rýchlosti svetla, vaša hmotnosť narastie len 2,3-krát. Takže hoci je nemožné dosiahnuť rýchlosť svetla, stále je možné sa k nej priblížiť - teda ak máte dostatok paliva.
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je Lorentzov faktor?
Odpoveď: Lorentzov faktor je faktor, ktorým sa mení čas, dĺžka a hmotnosť objektu pohybujúceho sa relativistickou rýchlosťou (blízkou rýchlosti svetla).
Otázka: Po kom je pomenovaný?
Odpoveď: Lorentzov faktor je pomenovaný podľa holandského fyzika Hendrika Lorentza.
Otázka: Aká rovnica opisuje Lorentzov faktor?
Odpoveď: Rovnica pre Lorentzov faktor je gamma = 1/(sqrt(1-(v/c)^2)), kde v je rýchlosť objektu a c je rýchlosť svetla.
Otázka: Čo predstavuje (v/c) v tejto rovnici?
Odpoveď: V tejto rovnici (v/c) predstavuje beta (beta) alebo pomer medzi rýchlosťou objektu a rýchlosťou svetla.
Otázka: Ako môžeme túto rovnicu prepísať?
Odpoveď: Túto rovnicu môžeme prepísať ako gamma = 1/(sqrt(1-beta^2)).
Prehľadať