Podobnosť v geometrii: definícia, pravidlá a príklady

Podobnosť v geometrii: jasná definícia, kľúčové pravidlá a názorné príklady. Naučte sa rozpoznať podobné útvary a riešiť úlohy rýchlo a jednoducho.

Podobnosť je základná myšlienka v geometrii. Znamená, že dva mnohoúholníky, úsečky alebo iné útvary majú rovnaký tvar, ale nemusia mať rovnakú veľkosť. Dva útvary sú podobné, ak ich uhly majú rovnakú mieru a ich strany sú úmerné. Z toho vyplýva, že dva kruhy, štvorce alebo dve úsečky sú vždy podobné, pretože majú rovnaké vnútorné uhly (v prípade kruhov je tvar závislý len od pomeru polomeru) alebo jednoznačne úmerné rozmery.

Definícia a mierka podobnosti

Formálne: dva útvary sú podobné, ak existuje kladný reálny číslo k (nazývané mierka podobnosti alebo koeficient podobnosti) a zobrazenie zložené z posunutia, rotácie a zmeny mierky (eventuálne doplnené o zrkadlenie), ktoré zmení jeden útvar na druhý. Ak sú body A, B, C zobrazené na A', B', C', potom pomer dĺžok zodpovedajúcich strán je konštantný:

• k = A'B' / AB = B'C' / BC = C'A' / CA

Ak je k = 1, útvary sú kongruentné (zhodné) — majú rovnakú veľkosť aj tvar. Podobnosť je teda príbuzná s pojmom zhode, ale u podobnosti sa môže meniť veľkosť.

Pravidlá podobnosti trojuholníkov

Trojuholníky majú niekoľko jednoduchých a užitočných kritérií, podľa ktorých je možné určiť podobnosť:

• AA (uhol-uhol): Ak majú dva trojuholníky po dvoch rovnakých uhloch, sú podobné. (Tretí uhol sa potom automaticky rovná.)
• SAS (strana-uhol-strana): Ak sú pomery dvoch párov zodpovedajúcich strán rovnaké a uhlopriečka medzi nimi je zhodná (uhol medzi týmito stranami), trojuholníky sú podobné.
• SSS (strana-strana-strana): Ak sú pomery všetkých troch párov zodpovedajúcich strán rovnaké, trojuholníky sú podobné.

Tieto kritériá sú praktické, pretože u trojuholníkov stačí splniť len niektoré z nich (napr. len rovnosť uhlov AA), na rozdiel od všeobecných mnohoúholníkov, kde zvyčajne treba aj zhoda uhlov aj úmernosť strán.

Mierka a jej dôsledky

• Ak je podobnosť daná faktorom k, potom sa dĺžky menia podľa vzťahu: d' = k·d.
• Obvody podobných útvarov sú v pomere k, teda P' = k·P.
• Plochy sa menia v pomere k^2: S' = k^2·S. To platí napr. pre trojuholníky, štvorce a všeobecne pre polygóny.
• Ak k < 0 (v niektorých definíciách zobrazení sa uvažuje aj záporný faktor), dochádza okrem zmeny mierky aj k prevráteniu (zrkadleniu). V bežnej elementárnej geometrii sa však používa k > 0 a zrkadlenie sa považuje za samostatný krok.

Homotetia (zhomotetia) a stred podobnosti

Zobrazenia, ktoré zmenia všetky vzdialenosti od pevného bodu O násobkom k, sa nazývajú zhomotetie (alebo homotetia). Pre bod X a jeho obraz X' platí OX' = k·OX. Tento stred O sa nazýva stred podobnosti. Homotetia vysvetľuje, prečo sú napr. všetky krúžnice podobné (zmenou polomeru okolo istého stredu dostaneme inú kružnicu).

Podobnosť iných mnohoúholníkov a útvarov

• Všeobecné mnohoúholníky: Musia mať zodpovedajúce uhly rovnaké a zodpovedajúce strany v pomernom pomere.
• Pravidelné mnohoúholníky so rovnakým počtom strán sú vždy podobné (zmenou veľkosti a prípadne rotáciou). Napríklad všetky pravidelné päťuholníky sú podobné medzi sebou.
• Kruhy sú vždy podobné — tvar kruhu nezávisí od polomeru, preto každý kruh možno zmeniť na iný použitím homotetie.

Ako overiť podobnosť v praxi

Postup pri riešení úloh často vyzerá takto:

• Identifikujte zodpovedajúce uhly a strany.
• Skontrolujte kritériá podobnosti (AA, SAS, SSS pre trojuholníky).
• Vypočítajte mierku k ako pomer jedného páru zodpovedajúcich strán (k = d' / d) — ak je k rovnaké pre všetky páry strán, trojuholníky sú podobné.
• Použite vlastnosti (obvod, obsah, výšky, medzikruhy atď.), ktoré sa menia podľa k alebo k^2, na ďalšie výpočty.

Príklady

Príklad 1 (jednoduchý): Trojuholníky s dĺžkami strán 3, 4, 5 a 6, 8, 10 sú podobné, pretože pomery strán sú všetky rovné 2 (k = 2). Obvod väčšieho je dvojnásobok, obsah je štvornásobok pôvodného (k^2 = 4).

Príklad 2 (uhlová podobnosť): Ak trojuholníky majú uhly 30°, 60°, 90° a 30°, 60°, 90°, sú podobné (AA). Nie je potrebné zisťovať strany, stačí že dva uhly sú rovnaké.

Príklad 3 (homotetia): Bod O je stredom homotetie s k = 3. Ak bod A je vzdialený 2 cm od O, jeho obraz A' bude vo vzdialenosti 6 cm od O. Ak pôvodný trojuholník mal obsah 5 cm², obraz bude mať obsah 45 cm²? Pozor — pri k = 3 bude obsah S' = k^2·S = 9·5 = 45 cm².

Upozornenia a tipy

• Nepomýľte si podobnosť s rovnakosťou (kongruenciou). Podobné tvary môžu byť rôzne veľké.
• Pri dokazovaní podobnosti treba jasne určiť zodpovedajúce vrcholy (poradie bodov). Nesprávne priradenie vedie k chybným výpočtom mierky.
• V mnohých geometrixých úlohách sa podobnosť kombinuje s Pythagorovou vetou, trigonometrickými vzťahmi alebo vlastnosťami kružníc a sústav priamok — preto si dajte pozor na kontext úlohy.

Podobnosť je tak nástroj, ktorý zjednodušuje porovnanie a výpočty pri útvaroch rôznych veľkostí, pričom zachováva ich tvarové vlastnosti.

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to podobnosť?

Otázka: Ako zistíte, či sú dva útvary podobné?

Otázka: Sú si všetky mnohouholníky navzájom podobné?

Otázka: Ako sa podobnosť porovnáva so zhodnosťou?

Otázka: Sú kruhy vždy podobné?

Hľadajte podľa písmena