AlegsaOnline.com

Kongruencia

Autor: Leandro Alegsa

30-08-2021

V geometrii sú dva útvary alebo objekty zhodné, ak majú rovnaký tvar a veľkosť. Taktiež ak má jeden z nich rovnaký tvar a veľkosť ako zrkadlový obraz druhého.

Formálnejšie povedané, dve množiny bodov sa nazývajú kongruentné vtedy a len vtedy, ak sa dá jedna transformovať na druhú izometriou. Na izometriu sa používajú tuhé pohyby.

To znamená, že jeden objekt možno premiestniť a odraziť (ale nie zmeniť jeho veľkosť) tak, aby sa presne zhodoval s druhým objektom. Dva rôzne rovinné útvary na papieri sú teda zhodné, ak ich môžeme vystrihnúť a potom úplne priradiť. Otočenie papiera je povolené.

Súhlasné mnohouholníky sú mnohouholníky, ktoré keď preložíte na polovicu pravidelného mnohouholníka, vznikne súhlasný mnohouholník.

Dva geometrické útvary sú zhodné, ak jeden z nich možno posunúť alebo otočiť tak, aby presne zapadol na miesto, kde je druhý. Ak jeden z objektov musí zmeniť svoju veľkosť, tieto dva objekty nie sú kongruentné: nazývajú sa len podobné.

Ak sú dve postavy alebo objekty zhodné, majú rovnaký tvar a veľkosť, ale možno ich otočiť, premiestniť, zrkadlovo zobraziť (odraziť) alebo preložiť tak, aby presne zapadli na miesto, kde je tá druhá.

Príklad kongruencie. Dva trojuholníky vľavo sú zhodné, tretí je im podobný. Posledný trojuholník nie je podobný ani zhodný so žiadnym z ostatných. Všimnite si, že kongruencia umožňuje meniť niektoré vlastnosti, napríklad polohu a orientáciu, ale iné, napríklad vzdialenosť a uhly, ponecháva nezmenené. Nezmenené vlastnosti sa nazývajú invarianty.

Príklady

všetky štvorce, ktorých strany majú rovnakú dĺžku, sú zhodné.
všetky rovnostranné trojuholníky s rovnakou dĺžkou strán sú zhodné.

Testy zhody

Dva uhly a strana medzi nimi sú rovnaké v dvoch trojuholníkoch (ASA kongruencia)
Dva uhly a strana, ktorá nie je medzi nimi, sú rovnaké v oboch trojuholníkoch (zhodnosť AAS)
Všetky tri strany oboch trojuholníkov sú rovnaké (zhodnosť SSS)
dve strany a uhol medzi nimi tvoria 2 zhodné trojuholníky (zhodnosť SAS)

Ako môžeme získať nové zhodné útvary?

Máme pomerne veľa možností, niekoľko pravidiel, ako vytvoriť nové tvary zhodné s pôvodnými.

Ak posunieme geomentrický útvar v rovine, dostaneme útvar, ktorý je zhodný s pôvodným.
Ak namiesto posúvania otáčame, dostaneme tiež tvar zhodný s pôvodným.
Aj keď zoberieme zrkadlový obraz pôvodného tvaru, stále dostaneme zhodný tvar.
Ak skombinujeme tieto tri činnosti jednu po druhej, stále dostaneme zhodné tvary.
Už neexistujú žiadne zhodné tvary. Presnejšie to znamená, že ak je nejaký útvar kongruentný s pôvodným, potom ho možno dosiahnuť tromi vyššie opísanými činnosťami.

Vzťah, že tvar je zhodný s iným tvarom, má tri známe vlastnosti.

Ak ponecháme pôvodný tvar na jeho pôvodnom mieste, potom je zhodný sám so sebou. Toto správanie, táto vlastnosť sa nazýva reflexivita.

Napríklad, ak vyššie uvedený posun nie je riadnym posunom, ale len posunom, ktorý vytvára pohyb dĺžky nula. Alebo podobne, ak vyššie uvedená rotácia nie je riadnou rotáciou, ale len rotáciou o nulový uhol.

Ak je tvar kongruentný s iným tvarom, potom je aj tento iný tvar kongruentný s pôvodným tvarom. Toto správanie, táto vlastnosť sa nazýva symetria.

Ak napríklad posunieme, otočíme alebo zrkadlovo otočíme nový tvar k pôvodnému, potom je pôvodný tvar kongruentný s novým.

Ak je tvar C kongruentný s tvarom B a tvar B je kongruentný s pôvodným tvarom A, potom je aj tvar C kongruentný s pôvodným tvarom A. Toto správanie, táto vlastnosť sa nazýva tranzitivita.

Ak napríklad použijeme najprv posun a potom rotáciu, potom je výsledný nový tvar stále zhodný s pôvodným.

Známe tri vlastnosti, reflexivita, symetria a tranzitivita, spolu tvoria pojem ekvivalencie. Z toho vyplýva, že vlastnosť kongruencia je jedným z druhov vzťahu ekvivalencie medzi tvarmi roviny.

Otázky a odpovede

Otázka: Čo v geometrii znamená, keď sú dve čísla zhodné?

Odpoveď: Dva útvary sú v geometrii zhodné, ak majú rovnaký tvar a veľkosť, alebo ak jeden má rovnaký tvar a veľkosť ako zrkadlový obraz druhého.

Otázka: Ako sa dve množiny bodov nazývajú zhodné?

Odpoveď: Dve množiny bodov sa nazývajú zhodné vtedy a len vtedy, ak sa dá jedna transformovať na druhú izometriou.

Otázka: Na čo sa v izometrii používajú tuhé pohyby?

Odpoveď: Tuhé pohyby sa v izometrii používajú na zmenu polohy, otáčanie alebo odrážanie geometrických útvarov bez zmeny ich veľkosti tak, aby sa presne zhodovali s inými objektmi.

Otázka: Môžu byť dva útvary zhodné, ak jeden z nich musí zmeniť svoju veľkosť, aby sa zhodoval s druhým?

Odpoveď: Nie, ak jeden z objektov musí zmeniť svoju veľkosť, aby sa zhodoval s druhým, potom tieto dva objekty nie sú zhodné, ale nazývajú sa podobné.

Otázka: Čo môžeme povedať o zhodnosti dvoch rôznych rovinných útvarov na papieri?

Odpoveď: Dva rôzne rovinné útvary na kúsku papiera sú zhodné, ak ich môžeme vystrihnúť a potom úplne priradiť, pričom v prípade potreby papier otočíme.

Otázka: Čo sú to zhodné mnohouholníky?

Odpoveď: Kongruentné mnohouholníky sú mnohouholníky, ktoré sa dajú preložiť na polovicu a vytvoriť ďalší pravidelný mnohouholník, ktorý je tiež kongruentný.

Otázka: Aké je kritérium na to, aby sa dva objekty mohli v geometrii nazývať zhodnými?

Odpoveď: Kritérium pre dva objekty, ktoré sa v geometrii nazývajú kongruentné, je, že jeden objekt sa dá polohovať, otáčať alebo odrážať tak, aby sa presne zhodoval s druhým objektom bez zmeny jeho veľkosti.