Simpsonov paradox

Toto je skutočný príklad z lekárskej štúdie porovnávajúcej úspešnosť dvoch spôsobov liečby obličkových kameňov.

V tabuľke sú uvedené miery úspešnosti a počty zákrokov pri liečbe malých aj veľkých obličkových kameňov, pričom liečba A zahŕňa všetky otvorené zákroky a liečba B je perkutánna nefrolitotómia:

Paradoxným záverom je, že liečba A je účinnejšia, ak sa použije na malé kamene a tiež ak sa použije na veľké kamene, ale liečba B je účinnejšia, ak sa berú do úvahy obe veľkosti súčasne. V tomto príklade nebolo známe, že veľkosť obličkového kameňa ovplyvňuje výsledok. V štatistike sa to nazýva skrytá premenná (alebo číhajúca premenná).

Ktorá liečba sa považuje za lepšiu, sa určuje nerovnosťou medzi dvoma pomermi (úspešnosť/celok). K obráteniu nerovnosti medzi pomermi, ktoré vytvára Simpsonov paradox, dochádza preto, lebo sa vyskytujú dva účinky spolu:

1. Veľkosti skupín, ktoré sa kombinujú, keď sa ignoruje číhajúca premenná, sú veľmi rozdielne. Lekári majú tendenciu poskytovať ťažkým prípadom (veľké kamene) lepšiu liečbu (A) a miernejším prípadom (malé kamene) horšiu liečbu (B). Preto v súčtoch dominujú skupiny tri a dva, a nie dve oveľa menšie skupiny jeden a štyri.
2. Číhajúca premenná má veľký vplyv na pomery, t. j. úspešnosť je silnejšie ovplyvnená závažnosťou prípadu ako výberom liečby. Preto skupina pacientov s veľkými kameňmi, ktorí používajú liečbu A (tretia skupina), dosahuje horšie výsledky ako skupina s malými kameňmi, aj keď tá použila horšiu liečbu B (druhá skupina).