Kombinovaný plynový zákon (PV/T) – vzorec, vysvetlenie a príklady

Boyleov zákon hovorí, že súčin tlaku a objemu je konštantný:

P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)}

Charlesov zákon ukazuje, že objem je úmerný absolútnej teplote:

V T = k 2 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {V}{T}}=k_{2}\qquad (2)}

Gay-Lussacov zákon hovorí, že tlak je úmerný absolútnej teplote:

P = k 3 T ( 3 ) {\displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)}

kde P je tlak, V objem a T absolútna teplota ideálneho plynu.

Kombináciou (1) a jednej z (2) alebo (3) získame novú rovnicu s P, V a T. Ak rovnicu (1) vydelíme teplotou a rovnicu (2) vynásobíme tlakom, dostaneme:

P V T = k 1 ( T ) T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}}

P V T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P} .

Keďže ľavá strana oboch rovníc je rovnaká, dostaneme

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P} ,

čo znamená, že

P V T = konštanta {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\textrm {konštanta}}} .

Dosadením Avogadrovho zákona získame rovnicu ideálneho plynu.

Odvodenie kombinovaného plynového zákona len pomocou elementárnej algebry môže obsahovať prekvapenia. Napríklad, ak vychádzame z troch empirických zákonov

P = k V T {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\! }           (1) Gay-Lussacov zákon, objem sa predpokladá konštantný

V = k P T {\displaystyle V=k_{P}T\,\! }           (2) Charlesov zákon, tlak sa považuje za konštantný

P V = k T {\displaystyle PV=k_{T}\,\! }           (3) Boyleov zákon, teplota sa predpokladá konštantná

kde kV, kP a kT sú konštanty, môžeme tieto tri konštanty vynásobiť a získať

P V P V = k V T k P T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\! }

Zdá sa, že odmocnina z obidvoch strán a delenie číslom T vedie k požadovanému výsledku

P V T = k P k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}},\! }

Ak však pred použitím vyššie uvedeného postupu iba preusporiadame členy v Boylovom zákone, kT = PV, potom po zrušení a preusporiadaní dostaneme

k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}\,\! }

čo nie je veľmi užitočné, ak nie zavádzajúce.

Fyzikálne odvodenie, ktoré je dlhšie, ale spoľahlivejšie, začína uvedomením si, že konštantný objemový parameter v Gay-Lussacovom zákone sa bude meniť so zmenou objemu systému. Pri konštantnom objeme _V1 môže zákon vyzerať P = k1T, zatiaľ čo pri konštantnom objeme V2 môže vyzerať P = k2T. Ak tento "premenný konštantný objem" označíme kV(V), prepíšeme zákon ako

P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\! }           (4)

Rovnaká úvaha platí aj pre konštantu v Charlesovom zákone, ktorú možno prepísať

V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T\,\! }           (5)

Pri hľadaní kV(V) by sa nemalo bezmyšlienkovite vylúčiť T medzi (4) a (5), pretože P je v prvom prípade premenlivé, zatiaľ čo v druhom sa predpokladá, že je konštantné. Skôr by sa malo najprv určiť, v akom zmysle sú tieto rovnice navzájom kompatibilné. Aby sme to pochopili, pripomeňme si, že ľubovoľné dve premenné určujú tretiu. Ak zvolíme P a V ako nezávislé, predstavíme si hodnoty T, ktoré tvoria plochu nad rovinou PV. Určité V0 a P0 definujú T0, bod na tejto ploche. Dosadením týchto hodnôt do (4) a (5) a usporiadaním dostaneme

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) a T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad a\quad T_{0}={\frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}}

Keďže obidva tieto výrazy opisujú dianie v tom istom bode na povrchu, oba číselné výrazy sa dajú porovnať a usporiadať

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}{V_{0}}}},\! }           (6)

Všimnite si, že 1/kV(V0) a 1/kP(P0) sú sklony ortogonálnych priamok rovnobežných s osou P/V a prechádzajúcich týmto bodom na povrchu nad rovinou PV. Pomer sklonov týchto dvoch priamok závisí len od hodnoty P0/V0 v danom bode.

Všimnite si, že funkčný tvar (6) nezávisí od konkrétneho zvoleného bodu. Rovnaký vzorec by vznikol pre akúkoľvek inú kombináciu hodnôt P a V. Preto je možné zapísať

k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}\quad \forall P,\forall V}           (7)

To znamená, že každý bod na ploche má vlastnú dvojicu ortogonálnych priamok, ktoré ním prechádzajú, pričom pomer ich sklonov závisí len od tohto bodu. Zatiaľ čo (6) je vzťah medzi konkrétnymi sklonmi a hodnotami premenných, (7) je vzťah medzi funkciami sklonu a premennými funkcie. Platí pre ľubovoľný bod na ploche, t. j. pre všetky kombinácie hodnôt P a V. Ak chcete túto rovnicu vyriešiť pre funkciu kV(V), najprv oddeľte premenné, V na ľavej strane a P na pravej strane.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)}

Vyberte si ľubovoľný tlak P1. Pravá strana sa vyhodnotí na nejakú ľubovoľnú hodnotu, nazvime ju _karb.

V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\! }           (8)

Táto konkrétna rovnica musí teraz platiť nielen pre jednu hodnotu V, ale pre všetky hodnoty V. Jediná definícia kV(V), ktorá to zaručuje pre všetky V a ľubovoľné _karb, je

k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}{V}}} (9)

čo možno overiť substitúciou v (8).

Napokon, dosadením (9) do Gay-Lussacovho zákona (4) a usporiadaním dostaneme kombinovaný plynový zákon

P V T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}}\,\! }

Všimnite si, že hoci pri tomto odvodení nebol použitý Boylov zákon, z výsledku sa dá ľahko odvodiť. Vo všeobecnosti pri tomto type odvodenia stačí použiť ľubovoľné dva z troch východiskových zákonov - všetky východiskové dvojice vedú k rovnakému kombinovanému plynovému zákonu.

Kombinovaný plynový zákon možno použiť na vysvetlenie mechaniky, v ktorej pôsobí tlak, teplota a objem. Napríklad: klimatizačné zariadenia, chladničky a tvorba oblakov a tiež sa používa v mechanike kvapalín a termodynamike.

• Daltonov zákon