Interval spoľahlivosti

Význam pojmu "confidence"

Pojem spoľahlivosť má v štatistike podobný význam ako v bežnom používaní. V bežnom používaní sa tvrdenie o 95 % spoľahlivosti niečoho zvyčajne považuje za označenie praktickej istoty. V štatistike tvrdenie o 95 % spoľahlivosti jednoducho znamená, že výskumník videl jeden možný interval z veľkého počtu možných, z ktorých devätnásť z dvadsiatich intervalov obsahuje skutočnú hodnotu parametra.

Praktický príklad

Stroj plní poháre margarínom. V tomto príklade je stroj nastavený tak, aby obsah pohárov predstavoval 250 g margarínu. Keďže stroj nemôže naplniť každý pohár presne 250 g, obsah pridaný do jednotlivých pohárov vykazuje určité odchýlky a považuje sa za náhodnú premennú X. Predpokladá sa, že tieto odchýlky sú normálne rozdelené okolo požadovaného priemeru 250 g so štandardnou odchýlkou 2,5 g. Aby sa určilo, či je stroj primerane kalibrovaný, náhodne sa vyberie vzorka n = 25 pohárov margarínu a poháre sa odvážia. Hmotnosti margarínu sú X1, ..., X25, náhodná vzorka z X.

Na získanie predstavy o očakávanej hodnote μ stačí uviesť jej odhad. Vhodným odhadom je výberový priemer:

μ ^ = X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n X i . {\displaystyle {\hat {\mu }}={\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}. }

Vo vzorke sú zobrazené skutočné váhy x1, ...,x25 s priemerom:

x Ž = 1 25 ∑ i = 1 25 x i = 250,2 gramov . {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{25}}\sum _{i=1}^{25}x_{i}=250,2\,{\text{gramov}}. }

Ak by sme zobrali ďalšiu vzorku 25 šálok, mohli by sme ľahko očakávať hodnoty ako 250,4 alebo 251,1 gramov. Priemerná hodnota vzorky 280 gramov by však bola veľmi zriedkavá, ak by sa priemerný obsah šálok v skutočnosti blížil k 250 g. Okolo pozorovanej hodnoty 250,2 priemernej hodnoty vzorky existuje celý interval, v rámci ktorého, ak by priemerná hodnota celej populácie skutočne nadobúdala hodnotu v tomto intervale, by sa pozorované údaje nepovažovali za obzvlášť nezvyčajné. Takýto interval sa nazýva interval spoľahlivosti pre parameter μ. Ako takýto interval vypočítame? Koncové body intervalu sa musia vypočítať zo vzorky, takže sú to štatistiky, funkcie vzorky X1, ..., X25, a teda samotné náhodné premenné.

V našom prípade môžeme určiť koncové body, ak uvážime, že priemer vzorky X z normálne rozdelenej vzorky je tiež normálne rozdelený, s rovnakým očakávaním μ, ale so štandardnou chybou σ/√n = 0,5 (gramy). Štandardizáciou dostaneme náhodnú premennú

Z = X¯ - μ σ / n = X¯ - μ 0,5 {\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}={\frac {{\bar {X}}-\mu }{0,5}}}

závislé od parametra μ, ktorý sa má odhadnúť, ale so štandardným normálnym rozdelením nezávislým od parametra μ. Preto je možné nájsť čísla -z a z, nezávislé od μ, kde Z leží medzi nimi s pravdepodobnosťou 1 - α, čo je miera toho, akú istotu chceme mať. Berieme 1 - α = 0,95. Takže máme:

P ( - z ≤ Z ≤ z ) = 1 - α = 0,95. {\displaystyle P(-z\leq Z\leq z)=1-\alfa =0,95.\,}

Číslo z vyplýva z kumulatívnej distribučnej funkcie:

Φ ( z ) = P ( Z ≤ z ) = 1 - α 2 = 0,975 , z = Φ - 1 ( Φ ( z ) ) = Φ - 1 ( 0,975 ) = 1.96 , {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (z)&=P(Z\leq z)=1-{\tfrac {\alpha }{2}}=0,975,\\[6pt]z&=\Phi ^{-1}(\Phi (z))=\Phi ^{-1}(0,975)=1,96,\end{aligned}}}

a dostaneme:

0,95 = 1 - α = P ( - z ≤ Z ≤ z ) = P ( - 1,96 ≤ X¯ - μ σ / n ≤ 1,96 ) = P ( X¯ - 1,96 σ n ≤ μ ≤ X¯ + 1.96 σ n ) = P ( X¯ - 1,96 × 0,5 ≤ μ ≤ X¯ + 1,96 × 0,5 ) = P ( X¯ - 0,98 ≤ μ ≤ X¯ + 0,98 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}0,95&=1-\alfa =P(-z\leq Z\leq z)=P\left(-1,96\leq {\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\leq 1.96\pravo)\\[6pt]&=P\levo({\bar {X}}-1,96{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+1.96{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}vpravo)\\[6pt]&=P\levo({\bar {X}}-1,96\times 0,5\leq \mu \leq {\bar {X}}+1.96\times 0,5\right)\\[6pt]&=P\left({\bar {X}}-0,98\leq \mu \leq {\bar {X}}+0,98\right).\end{aligned}}

To možno interpretovať takto: s pravdepodobnosťou 0,95 nájdeme interval spoľahlivosti, v ktorom sa stretneme s parametrom μ medzi stochastickými koncovými bodmi

X - 0 . 98 {\displaystyle {\bar {X}}-0{.}98\,}

a

X ¯ + 0.98. {\displaystyle {\bar {X}}+0,98.\,}

To neznamená, že vo vypočítanom intervale je pravdepodobnosť splnenia parametra μ 0,95. Pri každom opakovaní meraní sa bude vyskytovať iná hodnota strednej hodnoty X vzorky. V 95 % prípadov bude μ medzi koncovými bodmi vypočítanými z tohto priemeru, ale v 5 % prípadov nebude. Skutočný interval spoľahlivosti sa vypočíta zadaním nameraných hodnôt do vzorca. Náš interval spoľahlivosti 0,95 bude:

( x - 0,98 ; x - + 0,98 ) = ( 250,2 - 0,98 ; 250,2 + 0,98 ) = ( 249,22 ; 251,18 ) . {\displaystyle ({\bar {x}}-0.98;{\bar {x}}+0.98)=(250.2-0.98;250.2+0.98)=(249.22;251.18).\,}

Keďže požadovaná hodnota 250 μ je vo výslednom intervale spoľahlivosti, nie je dôvod domnievať sa, že stroj je nesprávne kalibrovaný.

Vypočítaný interval má pevné koncové body, pričom μ môže byť medzi nimi (alebo nie). Táto udalosť má teda pravdepodobnosť 0 alebo 1. Nemôžeme povedať: "s pravdepodobnosťou (1 - α) leží parameter μ v intervale spoľahlivosti." Vieme len, že opakovaním v 100(1 - α) % prípadov bude μ vo vypočítanom intervale. V 100α % prípadov však nie je. A bohužiaľ nevieme, v ktorých z prípadov sa tak stane. Preto hovoríme: "pri hladine spoľahlivosti 100(1 - α) % leží μ v intervale spoľahlivosti. "

Na obrázku vpravo je zobrazených 50 realizácií intervalu spoľahlivosti pre daný populačný priemer μ. Ak náhodne vyberieme jednu realizáciu, je pravdepodobnosť 95 %, že sme nakoniec vybrali interval, ktorý obsahuje parameter; môžeme však mať smolu a vybrať nesprávny interval. To sa nikdy nedozvieme, zostaneme pri našom intervale.

Zvislé úsečky predstavujú 50 realizácií intervalu spoľahlivosti pre μ.