Základná veta aritmetiky

Dôkaz

Prvý, kto dokázal túto vetu, bol Euklides. Prvý podrobný a správny dôkaz bol v diele Disquisitiones Arithmeticae od Carla Friedricha Gaußa.

Niektorí ľudia si môžu myslieť, že veta platí všade. Veta však neplatí vo všeobecnejších číselných sústavách, ako sú algebraické celé čísla. Prvýkrát sa o tom zmienil Ernst Kummer v roku 1843 vo svojej práci o Fermatovej poslednej vete. Viac informácií o nej nájdete v článku Teória algebraických čísel.

Dôkaz pozostáva z dvoch častí: najprv ukážeme, že každé číslo sa dá zapísať ako súčin prvočísel; potom ukážeme, že ak číslo zapíšeme ako súčin prvočísel druhýkrát, potom musia byť oba zoznamy prvočísel rovnaké.

Prvá časť dôkazu

Ukážeme, že ak nie každé číslo väčšie ako 1 možno zapísať ako súčin prvočísel, dostávame sa do určitej nemožnosti. Potom teda dospejeme k záveru, že musí platiť, že každé číslo sa dá zapísať ako súčin prvočísel.

Teraz sa pozrite, čo sa stane, keď niekto povie, že pozná celé kladné číslo väčšie ako 1, ktoré sa nedá zapísať ako súčin prvočísel. V takom prípade ho požiadame, aby uviedol všetky čísla väčšie ako 1, ktoré sa nedajú zapísať ako súčin prvočísel. Jedno z týchto čísel musí byť najmenšie: nazvime ho n. Samozrejme, toto číslo n nemôže byť 1. Ďalej to nemôže byť prvočíslo, pretože prvočíslo je "súčinom" jediného prvočísla: samého seba. Musí to byť teda súčin čísel. Teda -

n = ab

kde a aj b sú kladné celé čísla, ktoré sú samozrejme menšie ako n. Ale: n bolo najmenšie číslo, ktoré sa nedá zapísať ako súčin prvočísel. Takže musí byť možné zapísať a a b ako súčin prvočísel, pretože obe sú menšie ako n. Ale potom súčin

n = ab

možno zapísať aj ako súčin prvočísel. To je nemožné, pretože sme povedali, že n sa nedá zapísať ako súčin prvočísel.

Teraz sme ukázali nemožnosť, ktorá existuje, ak by prvá časť vety nebola pravdivá. Týmto spôsobom sme teraz dokázali prvú časť vety.

Druhá časť dôkazu

Teraz musíme dokázať, že existuje len jeden spôsob, ako zapísať kladné číslo väčšie ako 1 ako súčin prvočísel.

Na to použijeme nasledujúcu lemu: ak prvočíslo p delí súčin ab, potom delí a alebo delí b (Euklidova lema). Najprv teraz dokážeme túto lemu. No teraz predpokladajme, že p nedelí a. Potom sú p a a koprimátne a máme Bezoutovu identitu, ktorá hovorí, že musia existovať celé čísla x a y také, že

px + ay = 1.

Vynásobením všetkého koeficientom b dostaneme

pbx + aby = b,

Spomeňte si, že ab by mohlo byť deliteľné p. Takže teraz máme na ľavej strane dva členy, ktoré sú deliteľné p. Takže člen na pravej strane je tiež deliteľný p. Teraz sme dokázali, že ak p nedelí a, musí deliť b. To dokazuje lemu.

Teraz dokážeme, že celé číslo väčšie ako 1 môžeme zapísať len jedným spôsobom ako súčin prvočísel. Vezmime si dva súčiny prvočísel A a B, ktoré majú rovnaký výsledok. Pre výsledok súčinov teda vieme, že A = B. Vezmime si ľubovoľné prvočíslo p z prvého súčinu A. Delí A, takže delí aj B. Ak niekoľkokrát použijeme lemu, ktorú sme práve dokázali, vidíme, že p potom musí deliť aspoň jeden faktor b z B. Ale všetky faktory sú samé prvočísla, takže aj b je prvočíslo. Ale vieme, že p je tiež prvočíslo, takže p sa musí rovnať b. Takže teraz delíme A číslom p a tiež delíme B číslom p. A dostaneme výsledok ako A* = B*. Opäť môžeme vziať prvočíslo p z prvého súčinu A* a zistiť, že sa rovná nejakému číslu v súčine B*. Ak budeme takto pokračovať, nakoniec uvidíme, že prvočinitele oboch súčinov musia byť presne rovnaké. To dokazuje, že kladné celé číslo môžeme zapísať ako súčin prvočísel len jedným jedinečným spôsobom.