Prvočíslo

Prvočíslo je prirodzené číslo určitého druhu. Každé prirodzené číslo sa rovná 1 krát samo seba. Ak sa číslo rovná násobku ľubovoľného iného čísla, potom sa toto číslo nazýva "zložené číslo". Najmenšie zložené číslo je 4, pretože 2 x 2 = 4. 1 nie je zložené číslo. Každé iné číslo je prvočíslo. Prvočísla sú čísla iné ako 1, ktoré sa nerovnajú m x n (okrem 1 x samo seba). Najmenšie prvočíslo je 2. Ďalšie prvočísla sú 3, 5, 7, 11 a 13. Najväčšie prvočíslo neexistuje.

Spôsob vzniku prvočísel je pre matematikov zložitý problém. Keď je číslo väčšie, je ťažšie zistiť, či ide o prvočíslo. Jednou z odpovedí je veta o prvočíslach. Jedným z nevyriešených problémov je Goldbachova domnienka.

Tu je ďalší spôsob, ako uvažovať o prvočíslach. Číslo 12 nie je prvočíslo, pretože z neho možno vytvoriť obdĺžnik so stranami dlhými 4 a 3. Tento obdĺžnik má plochu 12, pretože je použitých všetkých 12 kvádrov. To sa nedá urobiť s 11. Bez ohľadu na to, ako je obdĺžnik usporiadaný, vždy zostanú kvádre, okrem obdĺžnika so stranami dĺžok 11 a 1. 11 teda musí byť prvočíslo.

Ako nájsť malé prvočísla

Existuje jednoduchá metóda na nájdenie zoznamu prvočísiel. Vytvoril ju Eratosthenes. Má názov Eratosthenovo sito. Zachytáva čísla, ktoré nie sú prvočíslami (ako sito), a prvočísla necháva prejsť.

Metóda pracuje so zoznamom čísel a špeciálnym číslom b, ktoré sa počas metódy mení. Pri postupe metódou niektoré čísla v zozname zakrúžkujete a iné vyškrtnete. Každé zakrúžkované číslo je prvočíslo a každé prečiarknuté číslo je zložené. Na začiatku sú všetky čísla jednoduché: nie sú zakrúžkované ani prečiarknuté.

Metóda je vždy rovnaká:

Na hárok papiera napíšte všetky celé čísla od 2 až po testované číslo. Číslo 1 nezapisujte. Prejdite na ďalší krok.
Začnite s b rovným 2. Prejdite na ďalší krok.
V zozname zakrúžkujte b. Prejdite na ďalší krok.
Počínajúc číslom b napočítajte v zozname ďalšie b a toto číslo prečiarknite. Opakujte počítanie ďalších b čísel a vyškrtávanie čísel až do konca zoznamu. Prejdite na ďalší krok.

(Napríklad: Ak je b 2, zakrúžkujete 2 a prečiarknete 4, 6, 8 atď. Keď je b 3, zakrúžkujete 3 a prečiarknete 6, 9, 12 atď. Hodnoty 6 a 12 už boli prečiarknuté. Prečiarknite ich ešte raz.)

Zvýšte b o 1. Prejdite na ďalší krok.
Ak bolo b prečiarknuté, vráťte sa k predchádzajúcemu kroku. Ak je b číslo v zozname, ktoré nebolo prečiarknuté, prejdite na 3. krok. Ak b nie je v zozname, prejdite na posledný krok.
(Toto je posledný krok.) Hotovo. Všetky prvočísla sú zakrúžkované a všetky zložené čísla sú prečiarknuté

Ako príklad môžete použiť túto metódu na zozname čísel od 2 do 10. Na konci budú zakrúžkované čísla 2, 3, 5 a 7. Sú to prvočísla. Čísla 4, 6, 8, 9 a 10 budú prečiarknuté. Sú to zložené čísla.

Táto metóda alebo algoritmus trvá príliš dlho na nájdenie veľmi veľkých prvočísel. Je však menej komplikovaný ako metódy používané pri veľmi veľkých prvočíslach, ako je Fermatov test prvočíselnosti (test na zistenie, či je číslo prvočíslo alebo nie) alebo Millerov-Rabinov test prvočíselnosti.

Na čo sa používajú prvočísla

Prvočísla sú veľmi dôležité v matematike a informatike. Nižšie sú uvedené niektoré reálne použitia. Veľmi dlhé čísla sa ťažko riešia. Je ťažké nájsť ich prvočinitele, preto sa na šifrovanie a tajné kódy väčšinou používajú čísla, ktoré sú pravdepodobne prvočíselné.

Väčšina ľudí má bankovú kartu, ktorou si môžu vybrať peniaze zo svojho účtu prostredníctvom bankomatu. Táto karta je chránená tajným prístupovým kódom. Keďže tento kód musí byť tajný, nemôže byť na karte uložený v otvorenom texte. Na tajné uloženie kódu sa používa šifrovanie. Toto šifrovanie využíva násobenie, delenie a hľadanie zvyškov veľkých prvočísel. V praxi sa často používa algoritmus s názvom RSA. Využíva čínsku vetu o zvyšku.

Ak má niekto digitálny podpis pre svoj e-mail, používa sa šifrovanie. Tým sa zabezpečí, že nikto nemôže sfalšovať e-mail od neho. Pred podpísaním sa vytvorí hash hodnota správy. Tá sa potom skombinuje s digitálnym podpisom a vytvorí sa podpísaná správa. Používané metódy sú viac-menej rovnaké ako v prvom uvedenom prípade.

Hľadanie najväčšieho doteraz známeho prvočísla sa stalo akýmsi športom. Testovanie, či je číslo prvočíslo, môže byť ťažké, ak je číslo veľké. Najväčšie známe prvočísla sú zvyčajne Mersennove prvočísla, pretože najrýchlejším známym testom prvočíselnosti je Lucasov-Lehmerov test, ktorý sa opiera o špeciálnu formu Mersennových čísel. Skupina, ktorá hľadá Mersennove prvočísla, sa nachádza tu[1].

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to prvočíslo?

Odpoveď: Prvočíslo je prirodzené číslo, ktoré nemožno deliť žiadnym iným prirodzeným číslom okrem 1 a seba samého.

Otázka: Aké je najmenšie zložené číslo?

Odpoveď: Najmenšie zložené číslo je 4, pretože 2 x 2 = 4.

Otázka: Aké sú ďalšie prvočísla po čísle 2?

Odpoveď: Ďalšie prvočísla po 2 sú 3, 5, 7, 11 a 13.

Otázka: Existuje najväčšie prvočíslo?

Odpoveď: Nie, neexistuje žiadne najväčšie prvočíslo. Množina prvočísiel je nekonečná.

Otázka: Čo hovorí základná veta aritmetiky?

Odpoveď: Základná veta aritmetiky hovorí, že každé kladné celé číslo sa dá zapísať ako súčin prvočísel jedinečným spôsobom.

Otázka: Čo je Goldbachova domnienka?

Odpoveď: Goldbachova domnienka je nevyriešený problém v matematike, ktorý hovorí, že každé párne celé číslo väčšie ako dve možno vyjadriť ako súčet dvoch prvočísel.

Otázka: Kto zaznamenal dôkaz, že neexistuje najväčšie prvočíslo?

Odpoveď: Euklides zaznamenal dôkaz, že neexistuje najväčšie prvočíslo.