Teoréma
Tvrdenie je dokázaná myšlienka v matematike. Tvrdenia sa dokazujú pomocou logiky a iných tvrdení, ktoré už boli dokázané. Veta, ktorú niekto musí dokázať, aby mohol dokázať inú vetu, sa nazýva lema. Vety sa skladajú z dvoch častí, sú to hypotézy a závery.
Na rozdiel od teórií, ktoré sú empirické, teórie používajú dedukciu.
Niektoré tvrdenia sú triviálne, vyplývajú priamo z viet. Iné tvrdenia sa nazývajú "hlboké", ich dôkaz je dlhý a náročný. Niekedy takéto dôkazy zahŕňajú aj iné oblasti matematiky alebo ukazujú súvislosti medzi rôznymi oblasťami. Tvrdenie môže byť jednoduché na vyslovenie, a pritom môže byť hlboké. Vynikajúcim príkladom je Fermatova posledná veta a existuje mnoho ďalších príkladov jednoduchých, ale hlbokých teorém v teórii čísel a kombinatorike, okrem iných oblastí.
Existujú aj ďalšie tvrdenia, pre ktoré je známy dôkaz, ale nie je možné ho jednoducho zapísať. Medzi najlepšie príklady patria veta o štyroch farbách a Keplerova domnienka. O obidvoch týchto tvrdeniach vieme, že sú pravdivé, len vďaka tomu, že sa zredukujú na počítačové hľadanie, ktoré sa potom overí pomocou počítačového programu. Spočiatku mnohí matematici túto formu dôkazu neakceptovali, ale v posledných rokoch sa stáva čoraz viac akceptovanou. Matematik Doron Zeilberger dokonca zašiel tak ďaleko, že tvrdí, že ide pravdepodobne o jediné netriviálne výsledky, ktoré kedy matematici dokázali. Mnohé matematické tvrdenia sa dajú zredukovať na jednoduchšie výpočty, vrátane polynomických identít, trigonometrických identít a hypergeometrických identít.
Pytagorova veta má najmenej 370 známych dôkazov.
Knihy
- Heath, Sir Thomas Little (1897), The works of Archimedes, Dover, vyhľadané 2009-11-15
- Hoffman, P. (1998). Muž, ktorý miloval len čísla: Erdős: Príbeh Paula Erdősa a hľadania matematickej pravdy. Hyperion, New York.
- Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). "A = B". A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. Externý odkaz v
|title=(help)CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je to veta?
Odpoveď: Veta je myšlienka, ktorej pravdivosť bola dokázaná v matematike pomocou logiky a iných už dokázaných viet.
Otázka: Čo je to lema?
Odpoveď: Lemma je vedľajšia veta, ktorú musíme dokázať, aby sme dokázali hlavnú vetu.
Otázka: Ako sa vymýšľajú teorémy?
Odpoveď: Tvrdenia sa skladajú z dvoch častí - hypotéz a záverov - a používajú skôr dedukciu ako empirické teórie.
Otázka: Je ťažké dokázať všetky teorémy?
Odpoveď: Nie, niektoré teorémy sú triviálne, pretože priamo vyplývajú z viet, zatiaľ čo iné si vyžadujú dlhé a náročné dôkazy, ktoré zahŕňajú iné oblasti matematiky alebo ukazujú súvislosti medzi rôznymi oblasťami.
Otázka: Môže byť veta jednoduchá, ale hlboká?
Odpoveď: Áno, príkladom môže byť Fermatova posledná veta, ktorá je jednoduchá, ale jej dôkaz je dlhý a zložitý.
Otázka: Existujú nejaké vety, ktorých dôkaz je známy, ale nedá sa jednoducho zapísať?
Odpoveď: Áno, príkladom je veta o štyroch farbách a Keplerova domnienka, ktoré sa dajú overiť iba spustením počítačových programov.
Otázka: Dajú sa matematické tvrdenia niekedy zredukovať na jednoduchšie výpočty?
Odpoveď: Áno, matematické tvrdenia sa niekedy dajú zredukovať na jednoduchšie výpočty, ako sú polynomické identity, trigonometrické identity alebo hypergeometrické identity.
