Gödelova veta o neúplnosti
Gödelove vety o neúplnosti je názov pre dve vety (pravdivé matematické tvrdenia), ktoré dokázal Kurt Gödel v roku 1931. Sú to tvrdenia z matematickej logiky.
Matematici si kedysi mysleli, že všetko, čo je pravdivé, má matematický dôkaz. Systém, ktorý má túto vlastnosť, sa nazýva úplný; systém, ktorý ju nemá, sa nazýva neúplný. Matematické myšlienky by tiež nemali mať rozpory. To znamená, že by nemali byť pravdivé a nepravdivé zároveň. Systém, ktorý neobsahuje protirečenia, sa nazýva konzistentný. Tieto systémy sú založené na súboroch axióm. Axiómy sú výroky, ktoré sa považujú za pravdivé a nepotrebujú dôkaz.
Gödel povedal, že každý netriviálny (zaujímavý) formálny systém je buď neúplný, alebo nekonzistentný:
- Vždy budú existovať otázky, na ktoré sa nedá odpovedať pomocou určitého súboru axióm;
- Nemôžete dokázať, že systém axióm je konzistentný, ak nepoužijete iný súbor axióm .
Tieto vety sú pre matematikov dôležité, pretože dokazujú, že nie je možné vytvoriť súbor axióm, ktorý by vysvetľoval všetko v matematike.
Niektoré súvisiace témy
Otázky a odpovede
Otázka: Čo sú Gödelove vety o neúplnosti?
Odpoveď: Gödelove vety o neúplnosti sú dve pravdivé matematické tvrdenia, ktoré dokázal Kurt Gödel v roku 1931 v oblasti matematickej logiky.
Otázka: Čo je to úplný systém v matematike?
Odpoveď: Úplný systém v matematike je systém, ktorý má vlastnosť, že všetko, čo je pravdivé, má matematický dôkaz.
Otázka: Čo je to neúplný systém v matematike?
Odpoveď: Neúplný systém v matematike je systém, ktorý nemá vlastnosť, že všetko, čo je pravdivé, má matematický dôkaz.
Otázka: Čo je to konzistentný systém v matematike?
Odpoveď: Konzistentný systém v matematike je systém, ktorý neobsahuje rozpory, čo znamená, že matematické myšlienky by nemali byť pravdivé a nepravdivé zároveň.
Otázka: Čo sú to axiómy v matematike?
A: Axiómy v matematike sú výroky, ktoré sa považujú za pravdivé a nevyžadujú si dôkaz.
Otázka: Čo tvrdil Gödel o každom netriviálnom formálnom systéme?
Odpoveď: Gödel tvrdil, že každý netriviálny formálny systém je buď neúplný, alebo nekonzistentný.
Otázka: Prečo sú Gödelove vety o neúplnosti dôležité pre matematikov?
Odpoveď: Gödelove vety o neúplnosti sú pre matematikov dôležité, pretože dokazujú, že nie je možné vytvoriť súbor axióm, ktorý by vysvetľoval všetko v matematike.
