Hilbertove problémy: zoznam, vplyv a súčasný stav
Zoznam 23 matematických problémov predstavený Davidom Hilbertom v roku 1900, jeho význam pre vývoj matematiky, príklady riešení, postavenie niekoľkých otvorených otázok a následný vplyv (vrátane „24. problému“).
Prehľad
Na prelome 19. a 20. storočia predstavil nemecký matematik David Hilbert súbor 23 otvorených matematických otázok, ktoré publikoval na Medzinárodnom kongrese matematikov v Paríži v roku 1900. Tento zoznam bol myslený ako výzva i smernica pre budúci výskum: každý problém mal ukázať dôležité smery, kde sa má matematika rozvíjať. Zo súboru vznikol rozsiahly program práce, ktorý ovplyvnil taktickú a koncepčnú podobu 20. storočia v rôznych odboroch matematiky.
Galéria obrázkov
2 Obrázky
Obsah a charakter problémov
Problémy pokrývajú široké oblasti: teória množín a základy matematiky, aritmetika a teória čísel, algebra, geometria, diferenciálne rovnice a matematická fyzika. Mnohým z nich Hilbert nevenoval iba formuláciu otázky, ale aj komentár o dôležitosti a možných prístupoch. Niektoré položky zoznamu sú veľmi konkrétne, iné zámerne širšie a koncepčné, čo umožnilo rôzne interpretačné prístupy počas ďalších desaťročí.
Historický vplyv a príklady riešení
Hilbertov zoznam urýchlil vznik nových metód a odvetví. Mnohé problémy boli vyriešené priamo alebo ich riešenia viedli k zásadným objavom. Napríklad tretí problém, týkajúci sa rozporu pri delení polyédrov, vyriešil krátko po ich predstavení Max Dehn; ďalšie položky stimulovali rozvoj topológie, teórie Lieových grup a algebraickej geometrie. V priebehu 20. storočia sa ukázalo, že odpovede na niektoré otázky môžu viesť k úplnému preformulovaniu základov alebo k objavom nezávislosti od vtedy prijatých axiómov.
Význam, kontroverzie a súčasný stav
Niektoré Hilbertove problémy boli vyriešené definitívne, iné sa ukázali ako príliš nejednoznačné a preformulovali sa do príbuzných otázok. Dôležité sú aj prípady, keď sa ukázalo, že problém nie je riešiteľný v rámci určitého axiomatického systému; príkladom je Kontinuum hypotéza, ktorej nezávislosť od Zermelo–Fraenkelovej teórie bola preukázaná postupne počas 20. storočia. Iné otázky ostávajú otvorené dodnes — medzi najslávnejšie nevybavené patrí Riemannova hypotéza, ktorá má zásadný význam v teórii čísel.
Rozšírenia, nasledovníci a „24. problém“
Po Hilbertovej smrti bolo v jeho pozostalosti nájdené ďalšie úsilie, ktoré sa dnes niekedy označuje ako Hilbertov 24. problém. Tento dodatočný problém sa zameriava na hľadanie kritérií jednoduchosti dôkazov a metód, ktoré by pomohli rozhodnúť, či je dôkaz najmenej komplikovaný. Myšlienka zjednotenia a systematizácie kritérií pre elegantné riešenia odzrkadľuje trvalý záujem matematikov nielen o výsledky, ale aj o štruktúru a kvalitu dôkazov.
Vplyv v modernej matematike
Hilbertov zoznam inšpiroval neskoršie iniciatívy, napríklad zoznam najvýznamnejších otvorených otázok 21. storočia predstavený inými organizáciami. Jedným z priamych odkazov na Hilbertovu tradíciu je i zoznam Problémov tisícročia, ktorý zostavil Clayov matematický inštitút v roku 2000. Hilbertove problémy zostávajú dôležitým symbolom systematického výzvania matematiky: niektoré položky sú historickými úspechmi, iné pripomínajú hranice súčasného poznania a smerujú ďalší výskum.
Pre študujúcich a záujemcov
Preskúmanie jednotlivých Hilbertových problémov ponúka prehľad o tom, ako sa matematická prax a teória navzájom ovplyvňujú. Pre zorientovanie sa v pôvodnom texte a doplňujúcich komentároch sú k dispozícii zborníky a preklady Hilbertových prednášok; v archívoch sa nachádzajú aj jeho poznámky a spisy (viac informácií). Štúdium týchto materiálov je cenné pre pochopenie historického kontextu, metodiky a dlhodobého dopadu jedného z najslávnejších zoznamov otvorených matematických otázok.
Súhrn
Formulácia niektorých problémov je lepšia ako formulácia iných. Z čisto formulovaných Hilbertových problémov majú konsenzuálne riešenie problémy 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 a 21. Na druhej strane problémy 1, 2, 5, 9, 15, 18+ , a 22 majú riešenia, ktoré majú čiastočný súhlas, ale existuje určitá polemika o tom, či rieši problém.
Riešenie úlohy 18, Keplerovej domnienky, využíva počítačom podporovaný dôkaz. Je to kontroverzné, pretože ľudský čitateľ nie je schopný overiť dôkaz v primeranom čase.
Zostáva teda 16, 8 (Riemannova hypotéza) a 12 nevyriešených. V tejto klasifikácii sú 4, 16 a 23 príliš nejasné na to, aby sa vôbec dali označiť za vyriešené. Do tejto triedy by patrila aj stiahnutá 24. Číslo 6 sa považuje skôr za problém z oblasti fyziky ako z oblasti matematiky.
Tabuľka problémov
Hilbertových dvadsaťtri problémov je:
| Problém | Stručné vysvetlenie | Stav | Rok vyriešenia |
| 1. | Hypotéza o kontinuu (t. j. že neexistuje množina, ktorej kardinalita by bola presne medzi kardinalitou celých a reálnych čísel) | Je dokázané, že v rámci Zermelo-Fraenkelovej teórie množín s axiómou voľby alebo bez nej sa nedá dokázať ani vyvrátiť (za predpokladu, že Zermelo-Fraenkelova teória množín s axiómou voľby alebo bez nej je konzistentná, t. j. neobsahuje dve tvrdenia tak, že jedno je negáciou druhého). Neexistuje zhoda v tom, či ide o riešenie problému. | 1963 |
| 2. | Dokážte, že axiómy aritmetiky sú konzistentné. | Neexistuje zhoda v tom, či výsledky Gödela a Gentzena poskytujú riešenie problému, ako ho uviedol Hilbert. Gödelova druhá veta o neúplnosti, dokázaná v roku 1931, ukazuje, že v rámci samotnej aritmetiky nemožno vykonať žiadny dôkaz jej konzistencie. Gentzenov dôkaz konzistencie (1936) ukazuje, že konzistencia aritmetiky vyplýva z dobre založeného ordinálu ε0 . | 1936? |
| 3. | Je vždy možné rozrezať prvý polyedr s rovnakým objemom na konečný počet polyedrických častí, z ktorých sa dá poskladať druhý polyedr? | Vyriešené. Výsledok: nie, dokázané pomocou Dehnových invariantov. | 1900 |
| 4. | Skonštruujte všetky metriky, v ktorých sú priamky geodetickými priamkami. | Príliš nejasné na to, aby sa dalo povedať, či je to vyriešené alebo nie. | - |
| 5. | Sú spojité skupiny automaticky diferenciálnymi skupinami? | Vyriešil Andrew Gleason alebo Hidehiko Yamabe, podľa toho, ako sa interpretuje pôvodné vyhlásenie. Ak sa však chápe ako ekvivalent Hilbertovej-Smithovej domnienky, je stále nevyriešená. | 1953? |
| 6. | Axiomatizácia celej fyziky | Čiastočne vyriešené. | - |
| 7. | Je a btranscendentálne, pre algebraické a ≠ 0,1 a iracionálne algebraické b ? | Vyriešené. Výsledok: áno, ilustruje to Gelfondova veta alebo Gelfondova-Schneiderova veta. | 1934 |
| 8. | Riemannova hypotéza ("reálna časť každej netriviálnej nuly Riemannovej zeta funkcie je ½") a ďalšie problémy prvočísel, medzi nimi Goldbachova domnienka a domnienka o dvojičkách | Nevyriešené. | - |
| 9. | Nájdite najvšeobecnejší zákon vety o reciprocite v ľubovoľnom algebraickom číselnom poli | Čiastočne vyriešené. | - |
| 10. | Nájdite algoritmus na určenie, či daná polynomická diofantická rovnica s celočíselnými koeficientmi má celočíselné riešenie. | Vyriešené. Výsledok: nemožné, z Matiaševičovej vety vyplýva, že takýto algoritmus neexistuje. | 1970 |
| 11. | Riešenie kvadratických foriem s algebraickými číselnými koeficientmi. | Čiastočne vyriešené. [] | - |
| 12. | Rozšírte Kroneckerovu-Weberovu vetu o abelovských rozšíreniach racionálnych čísel na ľubovoľné základné číselné pole. | Čiastočne vyriešené teóriou poľa tried, hoci riešenie nie je také jednoznačné ako Kroneckerova-Weberova veta. | - |
| 13. | Riešenie rovníc 7. stupňa pomocou spojitých funkcií dvoch parametrov. | Nevyriešené. Problém čiastočne vyriešil Vladimir Arnold na základe práce Andreja Kolmogorova. | 1957 |
| 14. | Je kruh invariantov algebraickej grupy pôsobiacej na polynomický kruh vždy konečne generovaný? | Vyriešené. Výsledok: Nie, protipríklad skonštruoval Masayoshi Nagata. | 1959 |
| 15. | Rigorózny základ Schubertovho enumeratívneho počtu. | Čiastočne vyriešené. [] | - |
| 16. | Opíšte relatívne polohy oválov vychádzajúcich z reálnej algebraickej krivky a ako limitné cykly polynomického vektorového poľa v rovine. | Nevyriešené. | - |
| 17. | Vyjadrenie definitnej racionálnej funkcie ako kvocient súčtov štvorcov | Riešili Emil Artin a Charles Delzell. Výsledok: Bola stanovená horná hranica potrebného počtu štvorcových členov. Nájdenie dolnej hranice je stále otvoreným problémom. | 1927 |
| 18. | (a) Existuje mnohosten, ktorý v troch rozmeroch pripúšťa iba anizoedrické dlaždice? | (a) Rozhodnuté. Výsledok: áno (Karl Reinhardt). | (a) 1928 |
| 19. | Sú riešenia Lagrangeovcov vždy analytické? | Vyriešené. Výsledok: Áno, dokázal to Ennio de Giorgi a nezávisle od neho a s použitím odlišných metód John Forbes Nash. | 1957 |
| 20. | Majú všetky variačné problémy s určitými okrajovými podmienkami riešenia? | Vyriešené. Významná téma výskumu počas celého 20. storočia, ktorá vyvrcholila riešením[] pre nelineárny prípad. | - |
| 21. | Dôkaz existencie lineárnych diferenciálnych rovníc s predpísanou monodromickou skupinou | Vyriešené. Výsledok: Áno alebo nie, v závislosti od presnejších formulácií problému. [] | - |
| 22. | Uniformizácia analytických vzťahov pomocou automorfných funkcií | Vyriešené. [] | - |
| 23. | Ďalší vývoj variačného počtu | Nevyriešené. | - |
Otázky a odpovede
Otázka: Kto v roku 1900 uverejnil zoznam 23 nevyriešených matematických problémov?
Odpoveď: David Hilbert uverejnil v roku 1900 zoznam 23 nevyriešených matematických problémov.
Otázka: Bol Hilbertov 24. problém súčasťou pôvodného zoznamu?
Odpoveď: Nie, Hilbertov 24. problém sa našiel v Hilbertových spisoch po jeho smrti.
Otázka: O čom je Hilbertov 24. problém?
Odpoveď: Hilbertov 24. problém je o hľadaní kritérií, ktoré by ukázali, že riešenie problému je najjednoduchšie možné.
Otázka: Bolo do roku 2012 vyriešených všetkých 23 problémov z Hilbertovho zoznamu?
Odpoveď: Nie, tri z 23 problémov na Hilbertovom zozname neboli v roku 2012 vyriešené.
Otázka: Bol niektorý z problémov na Hilbertovom zozname príliš nejasný na to, aby sa dal vyriešiť?
Odpoveď: Áno, tri z problémov na Hilbertovom zozname boli príliš nejasné na to, aby sa dali vyriešiť.
Otázka: Koľko problémov z Hilbertovho zoznamu sa dalo čiastočne vyriešiť?
Odpoveď: Šesť problémov z Hilbertovho zoznamu sa dalo čiastočne vyriešiť.
Otázka: Vytvoril Clayov matematický inštitút podobný zoznam ako Hilbertov zoznam problémov?
Odpoveď: Áno, Clayov matematický inštitút vytvoril podobný zoznam s názvom Problémy ceny tisícročia v roku 2000.
Súvisiace články
Autor
AlegsaOnline.com Hilbertove problémy: zoznam, vplyv a súčasný stav Leandro Alegsa
URL: https://sk.alegsaonline.com/art/44188
Zdroje
- emis.de : Shreeram S. Abhyankar: Hilbert's Thirteenth Problem
- iop.org : A. G. Vitushkin: On Hilbert's thirteenth problem and related questions
- maa.org : Hilbert’s twenty-fourth problem
- encyclopediaofmath.org : Encyclopedia of Mathematics