Hyperkrychľa – n-rozmerná kocka: definícia, vlastnosti a príklady

Hyperkrychľa – n-rozmerná kocka: jasná definícia, kľúčové vlastnosti, vzorce a názorné príklady. Zrozumiteľne o geometrii vyšších rozmerov.

V geometrii je hyperkocka n-rozmerná obdoba štvorca (n = 2) a kocky (n = 3). Je to uzavretý, kompaktný, konvexný útvar, ktorého 1-skelet pozostáva zo skupín protiľahlých rovnobežných úsečiek usporiadaných v každom z rozmerov priestoru, navzájom kolmých a rovnako dlhých. Najdlhšia uhlopriečka jednotkovej hyperkrychle v n dimenzii sa rovná n {\displaystyle {\sqrt {n}} .

N-rozmerná hyperkocka sa nazýva aj n-kocka alebo n-rozmerná kocka. Používa sa aj termín "merný polytop", najmä v prácach H. S. M. Coxetera (pôvodne od Elteho, 1912), ale v súčasnosti je už nahradený.

Hyperkrychľa je špeciálnym prípadom hyperobdĺžnika (nazývaného aj n-ortotop).

Jednotková hyperkrychľa je hyperkrychľa, ktorej strana má dĺžku jednej jednotky. Často sa "jednotkovou" hyperkrychľou nazýva hyperkrychľa, ktorej rohy (alebo vrcholy) sú 2n bodov v Rn s každou súradnicou rovnou 0 alebo 1.

Definícia a základné vlastnosti

Formálne možno n-kocku definovať ako kartézsky súčin n úsečiek rovnakých dĺžok: I^n = I × I × ... × I, kde I je interval dĺžky a (napríklad I = [0,a] alebo I = [−a/2,a/2]). Jednotková hyperkrychľa sa zvyčajne označuje ako [0,1]^n alebo {0,1}^n (vrcholy).

• Počet vrcholov: 2^n.
• Počet hrán: n·2^{n-1} (každý z n rozmerov prispieva 2^{n-1} hrám).
• Počet k-dimenzionálnych stien (k-face): C(n,k) · 2^{\,n-k}, kde C(n,k) je binomický koeficient.
• Facety (n−1-steny): 2n (každý rozmer má dve protilehlé steny).

Metrické vlastnosti

Nech a označuje dĺžku hrany hyperkrychle. Potom platí:

• Hyperobjem (n-objem): V = a^n. Pre jednotkovú hyperkrychľu (a = 1) je V = 1.
• "Povrch" (hyperplochová miara): S = 2n · a^{\,n-1} — suma hyperplošných miere všetkých (n−1)-stien.
• Dĺžka najdlhšej uhlopriečky: a·sqrt(n). Pre jednotkovú kocku je to sqrt(n) (pozri aj vložený obrázok hore).
• Polomer vpísanej gule (inradius): r = a/2 (vzdialenosť od stredu ku stredu steny).
• Polomer opísanej gule (circumradius): R = (a/2)·sqrt(n) (vzdialenosť od stredu k vrcholu).

Koordinátna reprezentácia a graf

Vrcholom n-kocky sú všetky n-tice z {0,1} (alebo po posunutí z {−a/2,a/2}). Dve vrcholy sú spojené hranou práve vtedy, keď sa líšia v presne jednej súradnici. Z toho vyplývajú už spomenuté počty hrán a ďalšie kombinatorické vlastnosti.

1-skelet hyperkrychle (graf, ktorého vrcholy sú vrcholy kocky a hrany sú hrany kocky) sa nazýva hypercube graph alebo Q_n. Charakteristické vlastnosti Q_n:

• Je n-regulárny (každý vrchol má stupeň n).
• Je bipartitný (rozdelenie podľa parity súčtu súradníc).
• Má priemer n (najdlhšia najkratšia cesta medzi dvoma vrcholmi prechádza zmenou až n súradníc).

Symetria, duál a ďalšie súvislosti

Symetrická skupina hyperkrychle je hyperoktahédrová skupina (tiež označovaná ako skupina typu B_n alebo C_n), ktorá obsahuje všetky permutácie súradníc a zmeny znamienka v prípadoch, kde je kocka centrovaná v bode 0. Uhladený počet prvkov tejto grupy je 2^n·n!.

Duálnym polytopom k n-kocke je n-ortoplex (nazývaný aj cross-polytope alebo n-irohy), ktorý má vrcholy v jednotkových osiach ±e_i. Pre n = 3 je duálom kocky oktaéder.

Konštrukcia, príklady a aplikácie

• Príklady podľa n: n = 1 — úsečka; n = 2 — štvorec; n = 3 — kocka; n = 4 — tesseract (4-kocka), ktorá má 16 vrcholov, 32 hrán, 24 štvorcových stien a 8 kociek ako 3-steny.
• Konštrukcia: n-kocku možno získať rekurzívne ako dva (n−1)-kocky spojené paralelnými hranami; to odráža kartézsky súčin definície.
• Praktické použitie: modelovanie vysokodimenzionálnych priestorov v informatike (hypercube sieťové topológie), kódovanie a kombinatorika (Grayov kód), optimalizácia (priestory rozhodnutí), vizualizácia a teória grafov.
• Tilovanie: Jednotková hyperkrychľa I^n tiluje R^n pri vhodnom mriežkovom posune (posuny po celočíselných vektoroch).
• Projekcie a zobrazenia: Štandardným spôsobom, ako zobraziť vyšší rozmer, je projekcia do 3D alebo 2D (napr. Schlegelov diagram pre tesseract), čo ukazuje vzťahy medzi stenami a hranami.

Ďalšie poznámky

Hyperkrychľa je základný a veľmi dôsledne preskúmaný príklad v elementárnej aj pokročilej geometrii a kombinatorike. Hoci pri vizualizácii do vyšších rozmerov strácame priame zmyslové vnímanie, algebraické a kombinatorické vlastnosti n-kocky zostávajú veľmi užitočné pre teoretické úvahy aj pre aplikácie v praxi.

Konštrukcia

Hyperkrychľu možno definovať zvýšením počtu rozmerov tvaru:

0 - Bod je hyperkrychľa s nulovou dimenziou.

1 - Ak tento bod posunieme o jednotku dĺžky, vymeriame ním úsečku, ktorá je jednotkovou hyperkrychľou rozmeru jedna.

2 - Ak túto úsečku posunieme o jej dĺžku v kolmom smere od seba, vymetie dvojrozmerný štvorec.

3 - Ak posunieme štvorec o jednotku dĺžky v smere kolmom na rovinu, na ktorej leží, vznikne trojrozmerná kocka.

4 - Ak presunieme kocku o jednotku dĺžky do štvrtého rozmeru, vznikne štvorrozmerná jednotková hyperkocka (jednotkový teserakt).

Tento postup sa dá zovšeobecniť na ľubovoľný počet rozmerov. Tento proces vymazávania objemov možno matematicky formalizovať ako Minkowského súčet: d-rozmerná hyperkrychľa je Minkowského súčet d navzájom kolmých úsečiek jednotkovej dĺžky, a preto je príkladom zonotopu.

1-skeleton hyperkrychle je graf hyperkrychle.

Schéma znázorňujúca vytvorenie teseraktu z bodu.


Animácia, ktorá ukazuje, ako vytvoriť teserakt z bodu.

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to hyperkrychľa?

Otázka: Aká je najdlhšia uhlopriečka v n-rozmernej hyperkrychli?

Otázka: Existuje iný výraz pre n-rozmernú hyperkrychľu?

Otázka: Čo znamená "jednotková hyperkrychľa"?

Otázka: Ako môžeme definovať "hyperobdĺžnik"?

Hľadajte podľa písmena