Zákon veľkých čísel

Autor: Leandro Alegsa Dátum vytvorenia: 7. decembra 2021

Zákon veľkých čísel (LLN) je veta zo štatistiky. Uvažujme nejaký proces, v ktorom sa vyskytujú náhodné výsledky. Napríklad náhodná premenná je opakovane pozorovaná. Potom priemer pozorovaných hodnôt bude z dlhodobého hľadiska stabilný. To znamená, že z dlhodobého hľadiska sa priemer pozorovaných hodnôt bude stále viac približovať k očakávanej hodnote.

Pri hádzaní kockami sú možnými výsledkami čísla 1, 2, 3, 4, 5 a 6. Všetky sú rovnako pravdepodobné. Populačný priemer (alebo "očakávaná hodnota") výsledkov je:

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.

Nasledujúci graf znázorňuje výsledky experimentu s hodmi kockou. V tomto experimente je vidieť, že priemer hodov kockou sa najprv divoko mení. Ako predpovedá LLN, priemer sa ustáli okolo očakávanej hodnoty 3,5, keď sa počet pozorovaní zvýši.

A demonstration of the Law of Large Numbers using die rolls

História

Jacob Bernoulli prvýkrát opísal LLN. Tvrdil, že je to také jednoduché, že aj ten najhlúpejší človek inštinktívne vie, že je to pravda. Napriek tomu mu trvalo viac ako 20 rokov, kým vypracoval dobrý matematický dôkaz. Keď ho našiel, v roku 1713 ho uverejnil v knihe Ars Conjectandi (Umenie konjektovať). Nazval ho "zlatou vetou". Stala sa všeobecne známou ako "Bernoulliho veta" (nemýliť si ju s rovnomenným zákonom vo fyzike). V roku 1835 ju S. D.Poisson ďalej opísal pod názvom "La loi des grands nombres" (Zákon veľkých čísel). Neskôr bol známy pod oboma názvami, ale najčastejšie sa používa "Zákon veľkých čísel".

K zlepšeniu zákona prispeli aj ďalší matematici. Niektorí z nich boli Čebišev, Markov, Borel, Cantelli a Kolmogorov. Po týchto štúdiách v súčasnosti existujú dve rôzne podoby zákona: Jedna sa nazýva "slabý" zákon a druhá "silný" zákon. Tieto formy nepopisujú rôzne zákony. Majú rôzne spôsoby opisu konvergencie pozorovanej alebo nameranej pravdepodobnosti k skutočnej pravdepodobnosti. Silná forma zákona implikuje slabú formu zákona.

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to zákon veľkých čísel?

Odpoveď: Zákon veľkých čísel je štatistická veta, ktorá hovorí, že ak sa náhodný proces opakovane pozoruje, potom priemer pozorovaných hodnôt bude dlhodobo stabilný.

Otázka: Čo znamená zákon veľkých čísel?

Odpoveď: Zákon veľkých čísel znamená, že s rastúcim počtom pozorovaní sa priemer pozorovaných hodnôt bude čoraz viac približovať k očakávanej hodnote.

Otázka: Čo je očakávaná hodnota?

Odpoveď: Očakávaná hodnota je populačný priemer výsledkov náhodného procesu.

Otázka: Aká je očakávaná hodnota hodu kockou?

Odpoveď: Očakávaná hodnota hodu kockou je súčet možných výsledkov vydelený počtom výsledkov: (1+2+3+4+5+6)/6=3,5.

Otázka: Čo ukazuje graf v texte v súvislosti so zákonom veľkých čísel?

Odpoveď: Z grafu vyplýva, že priemer hodov kockou sa najprv divoko mení, ale ako predpovedá LLN, priemer sa ustáli okolo očakávanej hodnoty 3,5, keď sa počet pozorovaní stane veľkým.

Otázka: Ako sa zákon veľkých čísel uplatňuje pri hádzaní kockami?

Odpoveď: Zákon veľkých čísel platí pre hádzanie kockou, pretože s rastúcim počtom hodov sa priemer hodov bude čoraz viac približovať k očakávanej hodnote 3,5.

Otázka: Prečo je zákon veľkých čísel dôležitý v štatistike?

Odpoveď: Zákon veľkých čísel je v štatistike dôležitý, pretože poskytuje teoretický základ pre myšlienku, že údaje majú tendenciu priemerovať sa pri veľkom počte pozorovaní. Je základom mnohých štatistických metód, ako sú intervaly spoľahlivosti a testovanie hypotéz.