Zákon sínusov — definícia, vzorce, triangulácia a nejednoznačný prípad
Komplexný sprievodca zákonom sínusov: definícia, vzorce, triangulácia, riešenie nejednoznačného prípadu a praktické príklady pre výpočet strán a uhlov trojuholníka.
Pravidlo sínusu alebo zákon sínusov je veta v matematike. Hovorí, že ak máme trojuholník ako na obrázku, platí rovnica uvedená nižšie.
a sin A = b sin B = c sin C = D {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}},=\,{\frac {b}{\sin B}},=\,{\frac {c}{\sin C}},=\,D\! } 
Rovnaký vzťah možno zapísať aj v tejto forme:
sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\! } 
D v rovniciach vyššie sa rovná priemeru opisanej kružnice trojuholníka, t. j. D = 2R, kde R je polomer opisanej kružnice (circumradius). Z toho plynie užitočný tvar:
- a = 2R sin A,
- b = 2R sin B,
- c = 2R sin C.
Galéria obrázkov
1 Obrázok
Odvodenie
Jednoduché odvodenie vychádza z faktu, že strana trojuholníka je vnútorným styčným oblúkom opisanej kružnice: ak má uhol A stredový uhol 2A, dĺžka zodpovedajúcej struny je a = 2R sin A. Z toho okamžite dostaneme a/ sin A = 2R, a analogicky pre ostatné strany, čo dáva zákon sínusov.
Použitie pri riešení trojuholníkov (triangulácia)
Zákon sínusov sa používa na nájdenie chýbajúcich strán alebo uhlov v trojuholníku, keď sú známe:
- dva uhly a jedna strana (prípady ASA alebo AAS) — vtedy pomocou súčtu uhlov získame tretí uhol a potom zákon sínusov pre strany,
- dve strany a uhol, ktorý nesusedí medzi nimi (prípad SSA) — tu môže nastať tzv. nejednoznačný prípad,
- v prípade SSS (tri známe strany) sa bežne používa zákon kosínusov najprv na získanie uhlov; zákon sínusov možno potom použiť na overenie alebo ďalšie výpočty.
Nejednoznačný prípad (SSA)
Ak sú známe dve strany a uhol, ktorý nesusedí medzi nimi (tzv. SSA), môže zákon sínusov viesť ku jednej, dvom alebo žiadnej reálnej riešeniu. Pre konkrétnosť uvažujme, že sú známe strany a (protivný ku uhlu A) a b a uhol A. Definujme výšku h = b sin A (výška spustená z vrcholu pri b ako základni).
- Ak a < h, potom trojuholník neexistuje (žiadne riešenie).
- Ak a = h, potom existuje práve jedno riešenie — pravouhlý trojuholník.
- Ak h < a < b, potom existujú dve rôzne riešenia (dva možné uhly B, jeden ostrý a jeden tupoúhlý), pretože z rovnice sin B = (b/a) sin A vyplýva dve možnosti pre B v intervale (0°,180°): B a 180°−B.
- Ak a ≥ b, potom existuje práve jedno riešenie (B je ostrý alebo práve 90°), pretože hodnota (b/a) sin A ≤ sin A ≤ 1 dáva jediný uhol B v intervale (0°,90°] alebo rovný 90°).
Tieto podmienky sú dôležité pri interpretácii výsledkov, pretože pri použití arcinusu treba vždy zvážiť, či zvolená hodnota uhla vedie k súčtu uhlov menšiemu ako 180°.
Numerická stabilita a praktické poznámky
- Pri počítaní uhlov z hodnôt sínusov pomocou inverznej funkcie arcsin môže vzniknúť numerická nepresnosť, najmä ak je sin blízko 1 (t. j. uhol blízko 90°). Derivácia arcsin(x) = 1/√(1−x²) rastie pri x → ±1, takže malé chyby v hodnote sínusu sa môžu prejaviť ako veľké chyby v uhle.
- Pri výpočtoch v počítači alebo pri meraní sa odporúča kontrolovať konzistenciu riešení (súčet uhlov = 180°) a v prípade potreby použiť zákon kosínusov na overenie alebo spoľahlivejšie určenie uhla v kritických prípadoch.
- Pri práci s trigonometrickými funkciami je dôležité vedieť, či nástroje používajú radiány alebo stupne — v súlade s jednotkami treba použiť vhodné nastavenie.
Krátke pripomenutie
- Zákon sínusov: a/ sin A = b/ sin B = c/ sin C = 2R.
- Umožňuje spočítať neznáme strany alebo uhly v prípadoch ASA, AAS a často aj SSA (s pomenovanými obmedzeniami).
- Nezabudnite na nejednoznačný prípad pri SSA a na možné numerické problémy pri uhloch blízkych 90°.
Zákon sínusov je jednou z dvoch trigonometrických rovníc, ktoré sa bežne používajú na hľadanie dĺžok a uhlov v zobraziteľných (skutočných) trojuholníkoch. Druhou základnou je zákon kosínusov, ktorý sa hodí najmä pre prípad SSS alebo ak potrebujeme priamo spočítať uhol medzi dvoma stranami.
Dôkaz
Plocha T {\displaystyle T}
ľubovoľného trojuholníka sa dá zapísať ako polovica jeho základne krát jeho výška (od vrcholu, ktorý nie je na základni). V závislosti od toho, ktorú stranu zvolíme za základňu, plocha môže byť daná vzťahom
T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,. } 
Ich vynásobením 2 / a b c {\displaystyle 2/abc}
dostaneme
2 T a b c = sin A a = sin B b = sin C c . {\displaystyle {\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}},. } 
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je to zákon sínusov?
Odpoveď: Zákon sínusov, známy aj ako pravidlo sínusov, je veta v matematike, ktorá hovorí, že ak máme trojuholník ako na obrázku, potom bude rovnica pravdivá.
Otázka: Čo hovorí táto rovnica?
Odpoveď: Táto rovnica hovorí, že pomer dĺžky každej strany a hodnoty sínusu jej protiľahlého uhla sa bude rovnať.
Otázka: Ako sa používa?
Odpoveď: Zákon sínusov možno použiť na nájdenie zostávajúcich strán trojuholníka, ak sú známe dva uhly a strana. Možno ho použiť aj vtedy, keď sú známe dve strany a jeden z uhlov, ktoré tieto dve strany neuzatvárajú.
Otázka: Čo sa stane v nejednoznačnom prípade?
Odpoveď: V niektorých prípadoch vzorec poskytuje dve možné hodnoty pre uzavretý uhol. To sa nazýva nejednoznačný prípad.
Otázka: Ako je to v porovnaní s inými trigonometrickými rovnicami?
Odpoveď: Zákon sínusov je jednou z dvoch trigonometrických rovníc, ktoré sa používajú na hľadanie dĺžok a uhlov v skalených trojuholníkoch. Druhou je zákon kosínusov.
Otázka: Čomu sa rovná D? Odpoveď: D sa rovná priemeru obvodu trojuholníka.
Súvisiace články
Autor
AlegsaOnline.com Zákon sínusov — definícia, vzorce, triangulácia a nejednoznačný prípad Leandro Alegsa
URL: https://sk.alegsaonline.com/art/56404
Zdroje
- mathworld.wolfram.com : "Law of Sines"