Pravidlo sínusu alebo zákon sínusov je veta v matematike. Hovorí, že ak máme trojuholník ako na obrázku, platí rovnica uvedená nižšie.

a sin A = b sin B = c sin C = D {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}},=\,{\frac {b}{\sin B}},=\,{\frac {c}{\sin C}},=\,D\! } {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\!}

Rovnaký vzťah možno zapísať aj v tejto forme:

sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\! } {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\!}

D v rovniciach vyššie sa rovná priemeru opisanej kružnice trojuholníka, t. j. D = 2R, kde R je polomer opisanej kružnice (circumradius). Z toho plynie užitočný tvar:

  • a = 2R sin A,
  • b = 2R sin B,
  • c = 2R sin C.

Odvodenie

Jednoduché odvodenie vychádza z faktu, že strana trojuholníka je vnútorným styčným oblúkom opisanej kružnice: ak má uhol A stredový uhol 2A, dĺžka zodpovedajúcej struny je a = 2R sin A. Z toho okamžite dostaneme a/ sin A = 2R, a analogicky pre ostatné strany, čo dáva zákon sínusov.

Použitie pri riešení trojuholníkov (triangulácia)

Zákon sínusov sa používa na nájdenie chýbajúcich strán alebo uhlov v trojuholníku, keď sú známe:

  • dva uhly a jedna strana (prípady ASA alebo AAS) — vtedy pomocou súčtu uhlov získame tretí uhol a potom zákon sínusov pre strany,
  • dve strany a uhol, ktorý nesusedí medzi nimi (prípad SSA) — tu môže nastať tzv. nejednoznačný prípad,
  • v prípade SSS (tri známe strany) sa bežne používa zákon kosínusov najprv na získanie uhlov; zákon sínusov možno potom použiť na overenie alebo ďalšie výpočty.

Nejednoznačný prípad (SSA)

Ak sú známe dve strany a uhol, ktorý nesusedí medzi nimi (tzv. SSA), môže zákon sínusov viesť ku jednej, dvom alebo žiadnej reálnej riešeniu. Pre konkrétnosť uvažujme, že sú známe strany a (protivný ku uhlu A) a b a uhol A. Definujme výšku h = b sin A (výška spustená z vrcholu pri b ako základni).

  • Ak a < h, potom trojuholník neexistuje (žiadne riešenie).
  • Ak a = h, potom existuje práve jedno riešenie — pravouhlý trojuholník.
  • Ak h < a < b, potom existujú dve rôzne riešenia (dva možné uhly B, jeden ostrý a jeden tupoúhlý), pretože z rovnice sin B = (b/a) sin A vyplýva dve možnosti pre B v intervale (0°,180°): B a 180°−B.
  • Ak a ≥ b, potom existuje práve jedno riešenie (B je ostrý alebo práve 90°), pretože hodnota (b/a) sin A ≤ sin A ≤ 1 dáva jediný uhol B v intervale (0°,90°] alebo rovný 90°).

Tieto podmienky sú dôležité pri interpretácii výsledkov, pretože pri použití arcinusu treba vždy zvážiť, či zvolená hodnota uhla vedie k súčtu uhlov menšiemu ako 180°.

Numerická stabilita a praktické poznámky

  • Pri počítaní uhlov z hodnôt sínusov pomocou inverznej funkcie arcsin môže vzniknúť numerická nepresnosť, najmä ak je sin blízko 1 (t. j. uhol blízko 90°). Derivácia arcsin(x) = 1/√(1−x²) rastie pri x → ±1, takže malé chyby v hodnote sínusu sa môžu prejaviť ako veľké chyby v uhle.
  • Pri výpočtoch v počítači alebo pri meraní sa odporúča kontrolovať konzistenciu riešení (súčet uhlov = 180°) a v prípade potreby použiť zákon kosínusov na overenie alebo spoľahlivejšie určenie uhla v kritických prípadoch.
  • Pri práci s trigonometrickými funkciami je dôležité vedieť, či nástroje používajú radiány alebo stupne — v súlade s jednotkami treba použiť vhodné nastavenie.

Krátke pripomenutie

  • Zákon sínusov: a/ sin A = b/ sin B = c/ sin C = 2R.
  • Umožňuje spočítať neznáme strany alebo uhly v prípadoch ASA, AAS a často aj SSA (s pomenovanými obmedzeniami).
  • Nezabudnite na nejednoznačný prípad pri SSA a na možné numerické problémy pri uhloch blízkych 90°.

Zákon sínusov je jednou z dvoch trigonometrických rovníc, ktoré sa bežne používajú na hľadanie dĺžok a uhlov v zobraziteľných (skutočných) trojuholníkoch. Druhou základnou je zákon kosínusov, ktorý sa hodí najmä pre prípad SSS alebo ak potrebujeme priamo spočítať uhol medzi dvoma stranami.