Zákon sínusov — definícia, vzorce, triangulácia a nejednoznačný prípad
Komplexný sprievodca zákonom sínusov: definícia, vzorce, triangulácia, riešenie nejednoznačného prípadu a praktické príklady pre výpočet strán a uhlov trojuholníka.
Pravidlo sínusu alebo zákon sínusov je veta v matematike. Hovorí, že ak máme trojuholník ako na obrázku, platí rovnica uvedená nižšie.
a sin A = b sin B = c sin C = D {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}},=\,{\frac {b}{\sin B}},=\,{\frac {c}{\sin C}},=\,D\! } 
Rovnaký vzťah možno zapísať aj v tejto forme:
sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\! } 
D v rovniciach vyššie sa rovná priemeru opisanej kružnice trojuholníka, t. j. D = 2R, kde R je polomer opisanej kružnice (circumradius). Z toho plynie užitočný tvar:
- a = 2R sin A,
- b = 2R sin B,
- c = 2R sin C.
Odvodenie
Jednoduché odvodenie vychádza z faktu, že strana trojuholníka je vnútorným styčným oblúkom opisanej kružnice: ak má uhol A stredový uhol 2A, dĺžka zodpovedajúcej struny je a = 2R sin A. Z toho okamžite dostaneme a/ sin A = 2R, a analogicky pre ostatné strany, čo dáva zákon sínusov.
Použitie pri riešení trojuholníkov (triangulácia)
Zákon sínusov sa používa na nájdenie chýbajúcich strán alebo uhlov v trojuholníku, keď sú známe:
- dva uhly a jedna strana (prípady ASA alebo AAS) — vtedy pomocou súčtu uhlov získame tretí uhol a potom zákon sínusov pre strany,
- dve strany a uhol, ktorý nesusedí medzi nimi (prípad SSA) — tu môže nastať tzv. nejednoznačný prípad,
- v prípade SSS (tri známe strany) sa bežne používa zákon kosínusov najprv na získanie uhlov; zákon sínusov možno potom použiť na overenie alebo ďalšie výpočty.
Nejednoznačný prípad (SSA)
Ak sú známe dve strany a uhol, ktorý nesusedí medzi nimi (tzv. SSA), môže zákon sínusov viesť ku jednej, dvom alebo žiadnej reálnej riešeniu. Pre konkrétnosť uvažujme, že sú známe strany a (protivný ku uhlu A) a b a uhol A. Definujme výšku h = b sin A (výška spustená z vrcholu pri b ako základni).
- Ak a < h, potom trojuholník neexistuje (žiadne riešenie).
- Ak a = h, potom existuje práve jedno riešenie — pravouhlý trojuholník.
- Ak h < a < b, potom existujú dve rôzne riešenia (dva možné uhly B, jeden ostrý a jeden tupoúhlý), pretože z rovnice sin B = (b/a) sin A vyplýva dve možnosti pre B v intervale (0°,180°): B a 180°−B.
- Ak a ≥ b, potom existuje práve jedno riešenie (B je ostrý alebo práve 90°), pretože hodnota (b/a) sin A ≤ sin A ≤ 1 dáva jediný uhol B v intervale (0°,90°] alebo rovný 90°).
Tieto podmienky sú dôležité pri interpretácii výsledkov, pretože pri použití arcinusu treba vždy zvážiť, či zvolená hodnota uhla vedie k súčtu uhlov menšiemu ako 180°.
Numerická stabilita a praktické poznámky
- Pri počítaní uhlov z hodnôt sínusov pomocou inverznej funkcie arcsin môže vzniknúť numerická nepresnosť, najmä ak je sin blízko 1 (t. j. uhol blízko 90°). Derivácia arcsin(x) = 1/√(1−x²) rastie pri x → ±1, takže malé chyby v hodnote sínusu sa môžu prejaviť ako veľké chyby v uhle.
- Pri výpočtoch v počítači alebo pri meraní sa odporúča kontrolovať konzistenciu riešení (súčet uhlov = 180°) a v prípade potreby použiť zákon kosínusov na overenie alebo spoľahlivejšie určenie uhla v kritických prípadoch.
- Pri práci s trigonometrickými funkciami je dôležité vedieť, či nástroje používajú radiány alebo stupne — v súlade s jednotkami treba použiť vhodné nastavenie.
Krátke pripomenutie
- Zákon sínusov: a/ sin A = b/ sin B = c/ sin C = 2R.
- Umožňuje spočítať neznáme strany alebo uhly v prípadoch ASA, AAS a často aj SSA (s pomenovanými obmedzeniami).
- Nezabudnite na nejednoznačný prípad pri SSA a na možné numerické problémy pri uhloch blízkych 90°.
Zákon sínusov je jednou z dvoch trigonometrických rovníc, ktoré sa bežne používajú na hľadanie dĺžok a uhlov v zobraziteľných (skutočných) trojuholníkoch. Druhou základnou je zákon kosínusov, ktorý sa hodí najmä pre prípad SSS alebo ak potrebujeme priamo spočítať uhol medzi dvoma stranami.
Trojuholník označený písmenami potrebnými na toto vysvetlenie. A, B a C sú uhly. a je strana oproti A . b je strana oproti B . c je strana oproti C
Dôkaz
Plocha T {\displaystyle T}
ľubovoľného trojuholníka sa dá zapísať ako polovica jeho základne krát jeho výška (od vrcholu, ktorý nie je na základni). V závislosti od toho, ktorú stranu zvolíme za základňu, plocha môže byť daná vzťahom
T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,. } 
Ich vynásobením 2 / a b c {\displaystyle 2/abc}
dostaneme
2 T a b c = sin A a = sin B b = sin C c . {\displaystyle {\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}},. } 
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je to zákon sínusov?
Odpoveď: Zákon sínusov, známy aj ako pravidlo sínusov, je veta v matematike, ktorá hovorí, že ak máme trojuholník ako na obrázku, potom bude rovnica pravdivá.
Otázka: Čo hovorí táto rovnica?
Odpoveď: Táto rovnica hovorí, že pomer dĺžky každej strany a hodnoty sínusu jej protiľahlého uhla sa bude rovnať.
Otázka: Ako sa používa?
Odpoveď: Zákon sínusov možno použiť na nájdenie zostávajúcich strán trojuholníka, ak sú známe dva uhly a strana. Možno ho použiť aj vtedy, keď sú známe dve strany a jeden z uhlov, ktoré tieto dve strany neuzatvárajú.
Otázka: Čo sa stane v nejednoznačnom prípade?
Odpoveď: V niektorých prípadoch vzorec poskytuje dve možné hodnoty pre uzavretý uhol. To sa nazýva nejednoznačný prípad.
Otázka: Ako je to v porovnaní s inými trigonometrickými rovnicami?
Odpoveď: Zákon sínusov je jednou z dvoch trigonometrických rovníc, ktoré sa používajú na hľadanie dĺžok a uhlov v skalených trojuholníkoch. Druhou je zákon kosínusov.
Otázka: Čomu sa rovná D? Odpoveď: D sa rovná priemeru obvodu trojuholníka.
Prehľadať