Poincarého domnienka

Poincarého domnienka je otázka týkajúca sa sfér v matematike. Je pomenovaná po francúzskom matematikovi a fyzikovi Henri Poincaréovi, ktorý ju formuloval v roku 1904.

Guľa (nazývaná aj 2-guľa, pretože ide o dvojrozmerný povrch, hoci sa zvyčajne chápe ako vnútro trojrozmerného priestoru) má tú vlastnosť, že akúkoľvek slučku na nej možno stiahnuť do bodu (ak sa okolo gule omotá gumička, je možné ju posunúť do bodu). Matematici hovoria, že 2-guľa je jednoducho spojená. Iné priestory túto vlastnosť nemajú, napríklad šiška: gumičku, ktorá raz obopne celú šišku, nemožno posunúť dole do bodu bez toho, aby opustila povrch.

Matematici vedeli, že táto vlastnosť je jedinečná pre 2-guľu v tom zmysle, že akýkoľvek iný jednoducho spojený priestor, ktorý nemá hrany a je dostatočne malý (v matematickom zmysle slova kompaktný), je v skutočnosti 2-guľa. To však už neplatí, ak odstránime myšlienku malosti, pretože nekonečne veľká rovina je tiež jednoducho spojená. Aj pravidelný disk (kružnica a jej vnútro) je jednoducho spojený, ale má hranu (ohraničujúci kruh).

Táto domnienka sa pýta, či to isté platí aj pre 3-guľu, ktorá je objektom prirodzene žijúcim v štyroch rozmeroch. Táto otázka motivovala veľkú časť modernej matematiky, najmä v oblasti topológie. Túto otázku nakoniec v roku 2002 vyriešil ruský matematik Grigorij Perelman metódami z geometrie a ukázal, že je skutočne pravdivá. Za svoju prácu dostal Fieldsovu medailu a Miléniovú cenu v hodnote 1 milión dolárov, pričom obe tieto ceny odmietol.

Poincarého domnienku možno rozšíriť aj na vyššie dimenzie: ide o zovšeobecnenú Poincarého domnienku. Prekvapivo bolo jednoduchšie dokázať tento fakt pre sféry vyšších rozmerov: v roku 1960 Smale dokázal, že je pravdivý pre 5-sféru, 6-sféru a vyššie. V roku 1982 Freedman dokázal, že to platí aj pre 4-sféru, za čo mu bola udelená Fieldsova medaila.

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to Poincarého domnienka?


Odpoveď: Poincarého domnienka je otázka o guľách v matematike, pomenovaná po Henrim Poincarém, ktorá sa pýta, či určité vlastnosti 2-gule platia aj pre 3-guľu.

Otázka: Akú vlastnosť má 2-guľa?


Odpoveď: 2-sféra má tú vlastnosť, že každá slučka na nej sa dá stiahnuť do bodu.

Otázka: Je táto vlastnosť jedinečná pre 2-guľu?


Odpoveď: Táto vlastnosť je jedinečná pre 2-guľu z hľadiska malých priestorov, ktoré nemajú hrany. Nekonečne veľká rovina a pravidelný disk (kruh a jeho vnútro) sú však jednoducho spojené, ale majú hrany.

Otázka: Kto dokázal, že to platí pre gule vyšších rozmerov?


Odpoveď: V roku 1960 Smale dokázal, že to platí pre 5-, 6- a vyššie sféry, a v roku 1982 Freedman dokázal, že to platí aj pre 4-rozmerné sféry.

Otázka: Kto vyriešil Poincarého domnienku?


Odpoveď: Poincarého domnienku vyriešil Grigorij Perelman, ruský matematik, ktorý použil metódy z geometrie, aby ukázal, že je skutočne pravdivá.

Otázka: Aké ocenenia získal Perelman za svoju prácu?



Odpoveď: Perelman dostal za svoju prácu na riešení Poincarého domnienky Fieldsovu medailu a Miléniovú cenu v hodnote 1 milión dolárov; obe ceny však odmietol.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3