Veta o prvočíslach
Veta o prvočíslach je veta z teórie čísel. Prvočísla nie sú v číselnom rade rozložené rovnomerne. Veta formalizuje myšlienku, že s rastúcim počtom čísel sa pravdepodobnosť, že trafíme prvočíslo medzi 1 a daným číslom, zmenšuje. Táto pravdepodobnosť je približne n/ln(n), kde ln(n) je funkcia prirodzeného logaritmu. To znamená, že pravdepodobnosť, že trafíme prvočíslo s 2n číslicami, je približne o polovicu menšia ako s n číslicami. Napríklad medzi kladnými celými číslami s najviac 1000 číslicami je približne jedno z 2300 prvočísiel (ln 101000 ≈ 2302,6), zatiaľ čo medzi kladnými celými číslami s najviac 2000 číslicami je približne jedno zo 4600 prvočísiel (ln 102000 ≈ 4605,2). Inými slovami, priemerný rozdiel medzi po sebe nasledujúcimi prvočíslami medzi prvými N celými číslami je približne ln(N).
Pätnásťročný Carl Friedrich Gauss mal v roku 1793 podozrenie, že existuje súvislosť medzi prvočíslami a logaritmami. Adrien-Marie Legendre mal tiež podozrenie na takúto súvislosť v roku 1798. Jacques Hadamard a Charles-Jean de La Vallée Poussin dokázali vetu o prvočíslach v roku 1896, teda viac ako sto rokov po Gaussovi.
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je to veta o prvočíslach?
Odpoveď: Veta o prvočíslach je veta z teórie čísel, ktorá vysvetľuje, ako sú prvočísla rozložené v číselnom rade.
Otázka: Sú prvočísla rovnomerne rozložené v číselnom rade?
Odpoveď: Nie, prvočísla nie sú v číselnom obore rozložené rovnomerne.
Otázka: Čo formalizuje veta o prvočíslach?
Odpoveď: Veta o prvočíslach formalizuje myšlienku, že pravdepodobnosť, že padne prvočíslo medzi 1 a daným číslom, sa s rastúcim číslom zmenšuje.
Otázka: Aká je pravdepodobnosť, že sa trafí prvočíslo medzi 1 a daným číslom?
Odpoveď: Pravdepodobnosť, že medzi 1 a daným číslom padne prvočíslo, je približne n/ln(n), kde ln(n) je funkcia prirodzeného logaritmu.
Otázka: Je pravdepodobnosť, že trafíme prvočíslo s 2n číslicami, väčšia ako pravdepodobnosť, že trafíme prvočíslo s n číslicami?
Odpoveď: Nie, pravdepodobnosť, že trafíte prvočíslo s 2n číslicami, je približne o polovicu menšia ako s n číslicami.
Otázka: Kto dokázal vetu o prvočíslach?
Odpoveď: Jacques Hadamard a Charles-Jean de La Vallée Poussin dokázali vetu o prvočíslach v roku 1896, viac ako sto rokov po tom, čo Gauss v roku 1793 vyslovil podozrenie o súvislosti medzi prvočíslami a logaritmami.
Otázka: Aký je priemerný rozdiel medzi po sebe nasledujúcimi prvočíslami medzi prvými N celými číslami?
Odpoveď: Priemerný rozdiel medzi prvými N po sebe idúcimi prvočíslami je približne ln(N).
