Druhá odmocnina z 2
Druhá odmocnina z 2 alebo (1/2) mocnina 2, v matematike zapísaná ako √2 alebo 21⁄2 , je kladné iracionálne číslo, ktoré sa po vynásobení samým sebou rovná číslu 2. Aby to bolo presnejšie, nazýva sa hlavnou odmocninou z 2, aby sa odlíšila od zápornej verzie seba samého, kde to tiež platí.
Z geometrického hľadiska je odmocnina z 2 dĺžkou uhlopriečky cez štvorec so stranami s dĺžkou jedna; možno ju nájsť pomocou Pytagorovej vety.
Odmocnina z 2 sa rovná dĺžke prepony pravouhlého trojuholníka s ramenami dĺžky 1
Dôkaz, že odmocnina z 2 nie je racionálna
Číslo 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}
nie je racionálne. Tu je dôkaz.
- Predpokladajme, že 2 {\displaystyle {\sqrt {2}} je racionálne. Existujú teda nejaké čísla a , b {\displaystyle a,b}
také, že a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}}
. - Môžeme zvoliť a a b tak, aby a alebo b bolo nepárne. Ak by a aj b boli párne, potom by sa zlomok mohol zjednodušiť (napríklad namiesto zápisu 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}}
namiesto toho by sme mohli napísať 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
). - Ak obe strany rovnice vynásobíme štvorcom, dostaneme a2 / b2 = 2 a a2 = 2 b2 .
- Pravá strana je 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}}
. Toto číslo je párne. Takže aj ľavá strana musí byť párna. Takže a 2 {\displaystyle a^{2}}
je párne. Ak sa nepárne číslo odmocní, výsledkom bude nepárne číslo. A ak by sa kvadratizovalo párne číslo, výsledkom by bolo tiež párne číslo. Takže a {\displaystyle a}
je párne. - Keďže a je párne, možno ho zapísať ako: a = 2 k {\displaystyle a=2k}
. - Použije sa rovnica z kroku 3. Dostaneme 2b2 = (2k)2
- Možno použiť exponenciálne pravidlo (pozri článok) - výsledok je 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}
. - Obe strany sú delené 2. Takže b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}
. To znamená, že b {\displaystyle b}
je párne. - V kroku 2 sme povedali, že a je nepárne alebo b je nepárne. Ale v kroku 4 bolo povedané, že a je párne, a v kroku 7 bolo povedané, že b je párne. Ak je pravdivý predpoklad, ktorý sme vyslovili v kroku 1, potom musia byť pravdivé aj všetky tieto ostatné veci, ale keďže sa navzájom nezhodujú, nemôžu byť všetky pravdivé; to znamená, že náš predpoklad nie je pravdivý.
Nie je pravda, že 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} je racionálne číslo. Takže 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} je iracionálne číslo.
