Druhá odmocnina z 2

Autor: Leandro Alegsa

18-06-2022

Druhá odmocnina z 2 alebo (1/2) mocnina 2, v matematike zapísaná ako √2 alebo $2 $ ^1⁄₂ , je kladné iracionálne číslo, ktoré sa po vynásobení samým sebou rovná číslu 2. Aby to bolo presnejšie, nazýva sa hlavnou odmocninou z 2, aby sa odlíšila od zápornej verzie seba samého, kde to tiež platí.

Z geometrického hľadiska je odmocnina z 2 dĺžkou uhlopriečky cez štvorec so stranami s dĺžkou jedna; možno ju nájsť pomocou Pytagorovej vety.

Odmocnina z 2 sa rovná dĺžke prepony pravouhlého trojuholníka s ramenami dĺžky 1

Dôkaz, že odmocnina z 2 nie je racionálna

Číslo 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ nie je racionálne. Tu je dôkaz.

Predpokladajme, že 2 {\displaystyle {\sqrt {2}} ${\sqrt {2}}$ je racionálne. Existujú teda nejaké čísla a , b {\displaystyle a,b} $a,b$ také, že a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}} $a/b={\sqrt {2}}$ .
Môžeme zvoliť a a b tak, aby a alebo b bolo nepárne. Ak by a aj b boli párne, potom by sa zlomok mohol zjednodušiť (napríklad namiesto zápisu 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}} ${\frac {2}{4}}$ namiesto toho by sme mohli napísať 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ ).
Ak obe strany rovnice vynásobíme štvorcom, dostaneme a² / b² = 2 a a² = 2 b² .
Pravá strana je 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} $2b^{2}$ . Toto číslo je párne. Takže aj ľavá strana musí byť párna. Takže a 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ je párne. Ak sa nepárne číslo odmocní, výsledkom bude nepárne číslo. A ak by sa kvadratizovalo párne číslo, výsledkom by bolo tiež párne číslo. Takže a {\displaystyle a} je párne.
Keďže a je párne, možno ho zapísať ako: a = 2 k {\displaystyle a=2k} $a=2k$ .
Použije sa rovnica z kroku 3. Dostaneme 2b² = (2k)²
Možno použiť exponenciálne pravidlo (pozri článok) - výsledok je 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}} $2b^{2}=4k^{2}$ .
Obe strany sú delené 2. Takže b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}} $b^{2}=2k^{2}$ . To znamená, že b {\displaystyle b} $b$ je párne.
V kroku 2 sme povedali, že a je nepárne alebo b je nepárne. Ale v kroku 4 bolo povedané, že a je párne, a v kroku 7 bolo povedané, že b je párne. Ak je pravdivý predpoklad, ktorý sme vyslovili v kroku 1, potom musia byť pravdivé aj všetky tieto ostatné veci, ale keďže sa navzájom nezhodujú, nemôžu byť všetky pravdivé; to znamená, že náš predpoklad nie je pravdivý.

Nie je pravda, že 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ je racionálne číslo. Takže 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ je iracionálne číslo.