Exponentiácia

Exponentiácia (mocnina) je aritmetická operácia s číslami. Je to opakované násobenie, rovnako ako je násobenie opakovaným sčítaním. Ľudia píšu exponenciáciu s horným indexom. Vyzerá to takto: x y {\displaystyle x^{y}} $x^{y}$ . V minulosti sa používali aj iné spôsoby matematického zápisu. Pri zápise pomocou zariadení, ktoré nemôžu používať horný index, ľudia zapisovali mocniny pomocou znakov ^ alebo **, takže 2^3 alebo 2**3 znamená 2 3 {\displaystyle 2^{3}}. $2^{3}$ .

Číslo x {\displaystyle x} sa nazýva základ a číslo y {\displaystyle y} sa nazýva exponent. Napríklad v 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ 2 je základ a 3 je exponent.

Ak chcete vypočítať 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ , musíte číslo 2 trikrát vynásobiť číslom 2. Takže 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2} $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ . Výsledok je 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8} $2\cdot 2\cdot 2=8$ . Rovnicu možno nahlas prečítať takto: 2 zvýšené na mocninu 3 sa rovná 8.

Príklady:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} $1^{x}=1$ pre každé číslo x

Ak je exponent rovný 2, potom sa mocnina nazýva štvorec, pretože plocha štvorca sa počíta pomocou 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ . Takže

x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ je štvorica x {\displaystyle x}

Ak je exponent rovný 3, potom sa mocnina nazýva kocka, pretože objem kocky sa počíta pomocou 3 {\displaystyle a^{3}} $a^{3}$ . Takže

x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ je kocka x {\displaystyle x}

Ak je exponent rovný -1, potom musí vypočítať inverzný základ. Takže

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Ak je exponent celé číslo a je menší ako 0, potom musí osoba číslo obrátiť a vypočítať mocninu. Napríklad:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\levá({\frac {1}{2}}}pravá)^{3}={\frac {1}{8}}} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Ak je exponent rovný 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ , potom výsledkom exponenciácie je odmocnina zo základu. Takže x 1 2 = x . {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}. } $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Príklad:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Podobne, ak je exponent 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} ${\frac {1}{n}}$ , výsledkom je n-tá odmocnina, takže:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Ak je exponent racionálne číslo p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} ${\frac {p}{q}}$ , potom je výsledkom q-ta odmocnina základu zvýšená na mocninu p, takže:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

Exponent dokonca nemusí byť racionálny. Ak chceme zvýšiť základ a na iracionálnu x-tú mocninu, použijeme nekonečnú postupnosť racionálnych čísel (xi), ktorej limitou je x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

ako je tento:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Existujú určité pravidlá, ktoré pomáhajú pri výpočte výkonov:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0} $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} $a^{0}=1$

Je možné vypočítať exponenciáciu matíc. Matica musí byť štvorcová. Napríklad: I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Komutatívnosť

Sčítanie aj násobenie sú komutatívne. Napríklad 2+3 je to isté ako 3+2 a 2 - 3 je to isté ako 3 - 2. Hoci je exponenciála opakovaným násobením, nie je komutatívna. Napríklad 2³=8, ale 3²=9.

Inverzné operácie

Sčítanie má jednu inverznú operáciu: odčítanie. Aj násobenie má jednu inverznú operáciu: delenie.

Exponenciácia má však dve inverzné operácie: Koreň a logaritmus. Je to tak, pretože exponenciácia nie je komutatívna. Môžete to vidieť na tomto príklade:

Ak máte x+2=3, môžete pomocou odčítania zistiť, že x=3-2. To isté platí, ak máte 2+x=3: tiež dostanete x=3-2. Je to preto, že x+2 je to isté ako 2+x.
Ak máte x - 2=3, potom môžete pomocou delenia zistiť, že x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . To isté platí, ak máte 2 - x=3: tiež dostanete x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Je to preto, že x - 2 je to isté ako 2 - x
Ak máte x²=3, potom na zistenie x použijete (druhú) odmocninu: Dostanete výsledok x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}} ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Ak však máte ^2x=3, potom nemôžete použiť koreň na zistenie x. Na zistenie x musíte skôr použiť (dvojkový) logaritmus: Dostanete výsledok x=log2(3).

Súvisiace stránky

Exponent

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to exponenciácia?

Odpoveď: Exponentiácia je aritmetická operácia s číslami, ktorú si môžeme predstaviť ako opakované násobenie.

Otázka: Ako sa exponenciácia zapisuje?

Odpoveď: Exponentiácia sa zvyčajne zapisuje ako x^y, kde x je základ a y je exponent. Môže sa tiež zapísať pomocou znamienok ^ alebo **, napríklad 2^4 alebo 2**4.

Otázka: Aké sú príklady exponenciácie?

Odpoveď: Medzi príklady exponenciácie patrí 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 pre každé číslo x; a 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

Otázka: Čo znamená, keď je exponent rovný -1?

Odpoveď: Keď je exponent rovný -1, potom je mocnina jednoducho recipročnou hodnotou základu (x^(-1) = 1/x).

Otázka: Ako sa vypočíta iracionálna mocnina základu?

Odpoveď: Ak chceme zvýšiť základ a na iracionálnu x-tú mocninu, použijeme nekonečnú postupnosť racionálnych čísel (xn), ktorej limitou je x (a^x = lim n->nekonečno a^(x_n)).

Otázka: Existujú nejaké pravidlá, ktoré uľahčujú výpočet exponentov?

Odpoveď: Áno, existuje niekoľko pravidiel, ktoré uľahčujú výpočet exponentov. Medzi ne patrí (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s = a ^ (r + s); a tak ďalej.