Pytagorova veta

Dôkaz

Jeden z dôkazov Pytagorovej vety našiel grécky matematik Eudoxos z Knidu.

V dôkaze sú použité tri lemy:

1. Trojuholníky s rovnakou základňou a výškou majú rovnakú plochu.
2. Trojuholník, ktorý má rovnakú základňu a výšku ako strana štvorca, má rovnakú plochu ako polovica štvorca.
3. Trojuholníky s dvoma zhodnými stranami a jedným zhodným uhlom sú zhodné a majú rovnaký obsah.

Dôkazom je:

1. Modrý trojuholník má rovnakú plochu ako zelený trojuholník, pretože má rovnakú základňu a výšku (lema 1).
2. Zelený aj červený trojuholník majú dve strany rovné stranám rovnakých štvorcov a uhol rovný priamemu uhlu (uhol 90 stupňov) plus uhol trojuholníka, takže sú zhodné a majú rovnaký obsah (lema 3).
3. Plochy červeného a žltého trojuholníka sú rovnaké, pretože majú rovnaké výšky a základne (lema 1).
4. Plocha modrého trojuholníka sa rovná ploche žltého trojuholníka, pretože

A b l u e = A g r e e e n = A r e d = A y e l l o w {\displaystyle {\color {blue}A_{blue}}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}}

1. Hnedé trojuholníky majú rovnakú plochu z rovnakých dôvodov.
2. Modrá a hnedá farba majú polovicu plochy menšieho štvorca. Súčet ich plôch sa rovná polovici plochy väčšieho štvorca. Z tohto dôvodu sú polovice plôch malých štvorcov rovnaké ako polovica plochy väčšieho štvorca, takže ich plocha je rovnaká ako plocha väčšieho štvorca.

Dôkaz pomocou podobných trojuholníkov

Ďalší dôkaz Pytagorovej vety môžeme získať pomocou podobných trojuholníkov.

d a = a c ⇒ d = a 2 c ( 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Pravá šípka \quad d={\frac {a^{2}}{c}}\quad (1)}

e/b = b/c => e = b^2/c (2)

Z obrázka vieme, že c = d + e {\displaystyle c=d+e\,\! } . A nahradením rovníc (1) a (2):

c = a 2 c + b 2 c {\displaystyle c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}}{c}}}

Násobenie c:

c 2 = a 2 + b 2 . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!. }

Pytagorovské trojice

Pytagorova trojica alebo trojica sú tri celé čísla, ktoré zodpovedajú rovnici a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} .

Známym príkladom je trojuholník so stranami 3, 4 a 5. Ak a=3 a b=4, potom 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}, pretože 9 + 16 = 25 {\displaystyle 9+16=25} . Toto sa dá tiež zobraziť ako 3 2 + 4 2 = 5. {\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}=5.}

Trojuholník tri-štyri-päť funguje pre všetky násobky 3, 4 a 5. Inými slovami, čísla ako 6, 8, 10 alebo 30, 40 a 50 sú tiež Pytagorovými trojicami. Ďalším príkladom trojuholníka je trojuholník 12-5-13, pretože 12 2 + 5 2 = 13 {\displaystyle {\sqrt {12^{2}+5^{2}}}=13} .

Pytagorova trojica, ktorá nie je násobkom iných trojíc, sa nazýva primitívna Pytagorova trojica. Každú primitívnu Pytagorovu trojicu možno nájsť pomocou výrazu ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\displaystyle (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})} , ale musia byť splnené nasledujúce podmienky. Ukladajú obmedzenia na hodnoty m {\displaystyle m} a n {\displaystyle n} .

1. m {\displaystyle m} a n {\displaystyle n} sú kladné celé čísla
2. m {\displaystyle m} a n {\displaystyle n} nemajú žiadne spoločné činitele okrem 1
3. m {\displaystyle m} a n {\displaystyle n} majú opačnú paritu. m {\displaystyle m} a n {\displaystyle n} majú opačnú paritu, keď m {\displaystyle m} je párne a n {\displaystyle n} je nepárne, alebo m {\displaystyle m} je nepárne a n {\displaystyle n} je párne.
4. m > n {\displaystyle m>n} .

Ak sú splnené všetky štyri podmienky, potom hodnoty m {\displaystyle m} a n {\displaystyle n} vytvárajú primitívnu Pytagorovu trojicu.

m = 2 {\displaystyle m=2} a n = 1 {\displaystyle n=1} vytvárajú primitívnu Pytagorovu trojicu. Hodnoty spĺňajú všetky štyri podmienky. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\displaystyle 2mn=2\times 2\times 1=4} , m 2 - n 2 = 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\displaystyle m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3} a m 2 + n 2 = 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\displaystyle m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5} , takže vznikne trojica ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)}.