Binárna operácia v matematike — definícia, príklady a vlastnosti

Binárna operácia v matematike: jasná definícia, názorné príklady (sčítanie, násobenie, matice, zloženie funkcií) a prehľad dôležitých vlastností pre študentov.

V matematike je binárna operácia (často označovaná symbolom *) na množine spôsob kombinácie dvojice prvkov tejto množiny, ktorého výsledkom je ďalší prvok tej istej množiny. Formálne ide o funkciu z kartézskeho súčinu množiny so sebou samou do tej množiny: ⋆ : S × S → S. Napríklad, ak vezmeme dvojicu prirodzených čísel a operáciou * zvolíme sčítanie, potom ich súčet je tiež prirodzené číslo — výsledok tejto binárnej operácie. Ďalším príkladom na prirodzených číslach je násobenie: 2 × 3 = 6, čo je opäť prirodzené číslo.

Ostatné príklady binárnych operácií: sčítanie a násobenie medzi maticami, zloženie funkcií, ďalej zjednotenie a prienik množín (sú binárne operácie na množine všetkých množín alebo na podmnožinách v mocninovej množine).

Formálna definícia

Binárna operácia na množine S je každá funkcia f: S × S → S. To znamená, že operácia prijme dva vstupné prvky z množiny S a priradí im jeden výsledný prvok (tiež z S). Požiadavka, že výsledok patrí do S, sa nazýva uzavretosť (closure).

Notácia a spôsoby zápisu

• Bežný zápis: a * b, kde * je názov alebo symbol operácie.
• Juxtaponencia (bez symbolu): ab — často používaná pre násobenie alebo zloženie.
• Prefixová alebo postfixová notácia: *(a,b) alebo (a b) v špecifických zápisoch.

Príklady binárnych operácií

• Sčítanie a násobenie na prirodzených číslách, celých číslach, racionálnych číslach atď.
• Odčítanie alebo delenie — sú binárne operácie definované na množinách, kde sú vždy definované (napr. odčítanie nie je uzavreté na nepružných množinách, ak definujeme prirodzené čísla bez záporných výsledkov).
• Matica»: sčítanie a násobenie maticami (sčítanie je komutativné, násobenie zvyčajne nie).
• Zloženie funkcií: ak f,g sú funkcie z X do X, potom f ∘ g je binárna operácia na množine funkcií.
• Zjednotenie a prienik množín: A ∪ B, A ∩ B sú binárne operácie na množine podmnožín určitej univerzálnej množiny.
• Bitové operácie (XOR, AND, OR) na binárnych reťazcoch alebo celočíselných reprezentáciách.

Vlastnosti binárnych operácií

• Uzavretosť: pre všetky a,b ∈ S je a * b ∈ S.
• Asociativita: (a * b) * c = a * (b * c) pre všetky a,b,c ∈ S. Napr. sčítanie a násobenie sú asociatívne.
• Komutativita: a * b = b * a pre všetky a,b ∈ S. Napr. sčítanie čísel a zjednotenie množín sú komutativné; matícové násobenie nie je v všeobecnosti komutativné.
• Neutrálny (identický) prvok: existuje e ∈ S taký, že e * a = a * e = a pre všetky a ∈ S. Napríklad 0 je neutrálny prvok pre sčítanie reálnych čísel, 1 pre násobenie.
• Inverzný prvok: pre danú operáciu a neutrálny prvok e, prvok a' je inverzný k a ak a * a' = a' * a = e. Napr. pre sčítanie reálnych čísel je inverzný prvok k a hodnotou −a.
• Distributivita: jedna operácia môže distribuovať cez druhú, napr. a*(b + c) = a*b + a*c pre reálne čísla.
• Idempotencia: a * a = a pre všetky a ∈ S. Príklad: A ∪ A = A pre množiny.
• Kancellatívnosť: ak a * b = a * c implikuje b = c (ľavá kancellatívnosť) a podobne pre pravú. Niektoré operácie ju majú, iné nie.

Algebraické štruktúry definované binárnymi operáciami

• Magma: množina S vybavená jednou binárnou operáciou (len uzavretosť sa často predpokladá).
• Semigrupa: magma, kde je operácia asociatívna.
• Monoid: semigrupa s neutrálnym prvkom.
• Grupa: monoid, v ktorom každý prvok má inverzný prvok. Ak je operácia komutativná, ide o abelovu (komutatívnu) grupu.
• Ringené a poliové štruktúry: využívajú dve binárne operácie (napr. sčítanie a násobenie) s určitými vzťahmi (distributivita atď.).

Poznámky a rozšírenia

• Niektoré operácie môžu byť čiastočne definované — nemusia dávať výsledok pre všetky dvojice prvkov (napr. delenie cez 0). Formálne ide o čiastočné binárne operácie.
• Rozšírením sú n-árne operácie, ktoré kombinujú n prvkov naraz (n = 0, 1, 2, 3, ...); binárna operácia je prípad n = 2.
• Binárna relácia (napr. ≤ alebo ≡) sa líši od binárnej operácie: relácia priraďuje pravdivostnú hodnotu dvojici, zatiaľ čo operácia priraďuje prvok množiny.

Binárne operácie sú základným stavebným kameňom algebraických konštrukcií a vyskytujú sa v mnohých oblastiach matematiky — od elementárnych aritmetických operácií až po zložité operácie v abstraktnej algebre, teórii množín, teórii grafov alebo v informatiky (operátory na bitoch, zreťazenie reťazcov a pod.).

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to binárna operácia?

Otázka: Ako sa v matematike označuje binárna operácia?

Otázka: Aký je príklad binárnej operácie na prirodzených číslach?

Otázka: Čo je výsledkom použitia binárnej operácie na dvojicu prirodzených čísel?

Otázka: Môžu sa binárne operácie aplikovať aj na iné matematické objekty okrem čísel?

Otázka: Aké sú príklady binárnych operácií na množinách?

Otázka: V akej množine možno vykonať dve rôzne binárne operácie?

Hľadajte podľa písmena