Matice: definícia, operácie, vlastnosti a použitie v lineárnej algebre

Matice: jasná definícia, praktické operácie, dôležité vlastnosti a použitie v lineárnej algebre — pre študentov, vedcov a programátorov s príkladmi a aplikáciami.

Autor: Leandro Alegsa

V matematike je matica (množné číslo: matice) obdĺžnik čísel usporiadaných do riadkov a stĺpcov. Riadky sú zľava doprava (vodorovné) a stĺpce idú zhora nadol (zvislé). Ľavá horná bunka sa označuje ako prvý riadok, prvý stĺpec (pozri diagram vpravo). Matica m × n má m riadkov a n stĺpcov; často ju zapisujeme ako A = [aij], kde aij je prvok v i-tom riadku a j-tom stĺpci.

Základné pojmy a notácia

Matice môžu obsahovať ľubovoľné prvky: reálne čísla, komplexné čísla, ale aj prvky z iných algebraických štruktúr. Špeciálne typy matíc:

  • štvorcová matica: m = n;
  • jednotková matica I (identity): štvorcová matica s jedničkami na diagonále a nulami inde;
  • nulová matica: všetky prvky sú nuly;
  • diagonálna matica: nenulové prvky len na hlavnej diagonále;
  • symetrická matica: A = Aᵀ (pre reálne matice);
  • trojuholníková (horná alebo dolná): všetky prvky pod alebo nad diagonálou sú nuly;
  • riadkový alebo stĺpcový vektor: matica s jedným riadkom alebo jedným stĺpcom.

Operácie s maticami

Existujú pravidlá pre sčítanie, odčítanie a "násobenie" matíc, ktoré sa líšia od bežných pravidiel pre čísla:

Sčítanie a odčítanie: Matice rovnakého rozmeru sa sčítavajú po prvkoch: (A + B)ij = Aij + Bij. Sčítanie je komutatívne a asociatívne.

Násobenie skalárom: Každý prvok matice sa vynásobí reálnym alebo komplexným číslom: (cA)ij = c · Aij.

Násobenie matíc: Pre A (m × n) a B (n × p) je súčin C = A·B matica rozmeru m × p s prvkami Cij = Σ (k=1..n) Aik·Bkj. Dôležité pravidlá:

  • násobenie je definované len ak počet stĺpcov prvej matice sa rovná počtu riadkov druhej;
  • všeobecne A·B ≠ B·A (násobenie nie je komutatívne);
  • násobenie je asociatívne: (A·B)·C = A·(B·C);
  • distributívnosť: A·(B + C) = A·B + A·C a (A + B)·C = A·C + B·C.

Práve s touto vlastnosťou sa spája poznámka, že A·B nedáva vždy rovnaký výsledok ako B·A. V pôvodnom texte sú vložené obrázky ilustrujúce A·B a B·A: {\displaystyle A\cdot B} {\displaystyle B\cdot A}

Transpozícia, stopa a determinant

Transpozícia (Aᵀ): matica, ktorá vznikne zamenením riadkov a stĺpcov (Aᵀ)ij = Aji. Transpozícia mení smer lineárnych transformácií a hrá dôležitú úlohu pri symetrii a ortogonalite.

Stopa (trace) štvorcovej matice A je súčet prvkov na hlavnej diagonále: tr(A) = Σ Aii. Stopa je invariantná pri podobnosti (tr(P⁻¹AP) = tr(A)).

Determinant (len pre štvorcové matice): číslo, ktoré charakterizuje, či je matica invertovateľná a ako transformácia mení obsah (objem). Ak det(A) ≠ 0, matica je regulárna (invertovateľná); ak det(A) = 0, je singulárna.

Inverzia a poradie

Inverzná matica A⁻¹ existuje len pre štvorcové matice s nenulovým determinantom a spĺňa A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Inverzná matica sa používa na riešenie sústav lineárnych rovníc, ale pre veľké matice sa numericky namiesto presnej inverzie používajú faktorizácie (LU, QR) alebo metódy iteratívne.

Hodnosť (rank) matice je maximálny počet lineárne nezávislých riadkov alebo stĺpcov. Hodnosť určuje riešiteľnosť sústavy lineárnych rovníc a priestor, ktorý matica mapuje.

Vlastné čísla a vlastné vektory

Pre štvorcovú maticu A sa hľadajú čísla λ (vlastné čísla) a nenulové vektory v (vlastné vektory) také, že A v = λ v. Vlastné hodnoty a vlastné vektory popisujú základné smery a mieru škálovania pri linearnej transformácii a sú kľúčové v mnohých aplikáciách (stabilita systémov, PCA v štatistike, kvantová mechanika).

Vlastnosti matíc (vybrané)

  • Pre štvorcovú maticu A platí det(kA) = k^n det(A) (pre n × n maticu).
  • det(A·B) = det(A)·det(B), tr(A + B) = tr(A) + tr(B).
  • Ak sú A a B podobné (existuje invertibilné P: B = P⁻¹AP), majú rovnaké vlastné hodnoty a rovnaký determinant aj stopu.
  • Ortogonálna matica Q spĺňa QᵀQ = I; jej stĺpce tvoria ortonormálnu bázu.

Použitie matíc

Matice sa používajú v mnohých prírodných a technických vedách. Niektoré základné oblasti využitia:

  • riešenie sústav lineárnych rovníc (Ax = b);
  • lineárne transformácie a počítačová grafika (otočenia, škálovanie, projekcie);
  • modelovanie systémov v fyzike a inžinierstve (pohyby, siete);
  • strojové učenie a štatistika (matice dát, PCA, regresia);
  • informatika a algoritmy (grafy reprezentované maticami susednosti, spracovanie signálov);
  • ekonómia a optimalizácia (modely vstup–výstup, kvadratické formy).

Výpočtové aspekty

Pri numerických výpočtoch sa pozornosť venuje stabilite a efektívnosti algoritmov. Základné operácie majú rozdielnu výpočtovú náročnosť: násobenie dvoch n × n matíc má v najjednoduchšom algoritme časovú zložitosť O(n^3), no existujú rýchlejšie algoritmy (Strassenova, algoritmy založené na Fourierovej transformácii). Pre riešenie sústav sa často používajú LU, QR faktorizácie alebo iteratívne metódy (Konjugovaný gradient) pri veľmi veľkých a riedkych maticiach.

Príklad

Nech A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[0, 1], [1, 0]]. Potom A·B ≠ B·A z dôvodu rozdielnych výsledkov pri bodej súčine podľa pravidla Cij = Σ Aik·Bkj. Tento jav ilustrujú aj vložené obrázky vyššie zobrazujúce A·B a B·A: {\displaystyle A\cdot B} {\displaystyle B\cdot A}

Na mnohých univerzitách sa kurzy o maticiach (zvyčajne nazývané lineárna algebra) vyučujú veľmi skoro, niekedy dokonca už v prvom ročníku štúdia. Matice sú veľmi rozšírené aj v informatike a v praxi predstavujú základný nástroj pre modelovanie a analýzu lineárnych systémov.

Na konkrétne položky matice sa často odkazuje pomocou dvojíc indexov pre čísla v jednotlivých riadkoch a stĺpcoch.Zoom
Na konkrétne položky matice sa často odkazuje pomocou dvojíc indexov pre čísla v jednotlivých riadkoch a stĺpcoch.

Definície a poznámky

Vodorovné čiary v matici sa nazývajú riadky a zvislé čiary sa nazývajú stĺpce. Matica s m riadkami a n stĺpcami sa nazýva matica m-by-n (alebo m×n matica) a m a n sa nazývajú jej rozmery.

Miesta v matici, kde sa nachádzajú čísla, sa nazývajú položky. Položka matice A, ktorá leží v riadku číslo i a stĺpci číslo j, sa nazýva položka i,j matice A. Zapisuje sa ako A[i,j] alebo ai,j.

Píšeme A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}}{\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}}, aby sme definovali m × n maticu A s každým záznamom v matici nazývaným ai,j pre všetky 1 ≤ i ≤ m a 1 ≤ j ≤ n.

Príklad

Matica

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\1&2&7\4&9&2\6&1&5\end{bmatrix}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&1&5\end{bmatrix}}}

je matica 4×3. Táto matica má m=4 riadky a n=3 stĺpce.

Prvok A[2,3] alebo a2,3 je 7.

Operácie

Dodatok

Súčet dvoch matíc je matica, ktorej (i,j)-ty zápis sa rovná súčtu (i,j)-tych zápisov dvoch matíc:

[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

Obe matice majú rovnaké rozmery. Tu platí A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A}{\displaystyle A+B=B+A}.

Násobenie dvoch matíc

Násobenie dvoch matíc je trochu zložitejšie:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\\koniec{bmatica}}={{začiatok{bmatica}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\koniec{bmatica}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\end{bmatrix}}}

Tak je to aj s číslami:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\1&4\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\5&0\\koniec{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\1&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\5&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

  • dve matice možno navzájom násobiť, aj keď majú rôzne rozmery, ak sa počet stĺpcov v prvej matici rovná počtu riadkov v druhej matici.
  • výsledkom násobenia, nazývaného súčin, je iná matica s rovnakým počtom riadkov ako prvá matica a rovnakým počtom stĺpcov ako druhá matica.
  • násobenie matíc nie je komutatívne, čo vo všeobecnosti znamená, že A ⋅ B ≠ B ⋅ A {\displaystyle A\cdot B\neq B\cdot A} {\displaystyle A\cdot B\neq B\cdot A}
  • násobenie matíc je asociatívne, čo znamená, že ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)} {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}

Špeciálne matice

Niektoré matice sú špeciálne.

Štvorcová matica

Štvorcová matica má rovnaký počet riadkov ako stĺpcov, takže m=n.

Príkladom štvorcovej matice je

[ 5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\0&9&1\-7&6&8\\\end{bmatrix}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\\0&9&1\\-7&6&8\\\end{bmatrix}}}

Táto matica má 3 riadky a 3 stĺpce: m=n=3.

Identita

Každá štvorcová rozmerová množina matice má špeciálny náprotivok nazývaný "matica identity". Identitná matica nemá nič iné ako nuly okrem hlavnej diagonály, kde sú samé jednotky. Napríklad:

[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\\koniec{bmatrix}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}

je matica identity. Pre každú štvorcovú rozmerovú množinu existuje presne jedna matica identity. Matica identity je špeciálna, pretože pri násobení akejkoľvek matice maticou identity je výsledkom vždy pôvodná matica bez zmeny.

Inverzná matica

Inverzná matica je matica, ktorá sa po vynásobení inou maticou rovná matici identity. Napríklad:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\-6&7\\{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\0&1\\{bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\end{bmatrix}} je {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}}inverzný k [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\6&7\\end{bmatrix}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}}.

Vzorec pre inverznú hodnotu matice 2x2, [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}}} je:

( 1 d e t ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\-z&x\end{bmatrix}} {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\-z&x\end{bmatrix}}}


Kde d e t {\displaystyle det}{\displaystyle det} je determinant matice. V matici 2x2 sa determinant rovná:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}} {\displaystyle {xv-yz}}

Matica s jedným stĺpcom

Matica, ktorá má veľa riadkov, ale len jeden stĺpec, sa nazýva stĺpcový vektor.

Determinanty

Determinant berie štvorcovú maticu a vypočíta jednoduché číslo, skalár. Aby ste pochopili, čo toto číslo znamená, vezmite každý stĺpec matice a nakreslite ho ako vektor. Rovnobežník narysovaný týmito vektormi má plochu, ktorá je determinantom. Pre všetky matice 2x2 je vzorec veľmi jednoduchý: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc} {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc}

Pre matice 3x3 je vzorec zložitejší: Det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})} {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Pre determinanty väčších matíc neexistujú jednoduché vzorce a mnohí programátori študujú, ako prinútiť počítače rýchlo nájsť veľké determinanty.

Vlastnosti determinantov

Všetky determinanty sa riadia tromi pravidlami. Sú to:

  • Determinant matice identity je 1
  • Ak sa vymenia dva riadky alebo dva stĺpce matice, potom sa determinant vynásobí -1. Matematici to nazývajú striedanie.
  • Ak sú všetky čísla v jednom riadku alebo stĺpci vynásobené iným číslom n, potom je determinant vynásobený n. Taktiež, ak má matica M stĺpec v, ktorý je súčtom dvoch stĺpcových matíc v 1 {\displaystyle v_{1}}{\displaystyle v_{1}} a v 2 {\displaystyle v_{2}} {\displaystyle v_{2}}, potom determinant M je súčtom determinantov M s v 1 {\displaystyle v_{1}}{\displaystyle v_{1}} na mieste v a M s v 2 {\displaystyle v_{2}}{\displaystyle v_{2}} na mieste v. Tieto dve podmienky sa nazývajú multilinearita.

Pozri tiež

  • Lineárna algebra
  • Numerická lineárna algebra

Kontrola úradu Edit this at Wikidata

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to matica?


Odpoveď: Matica je obdĺžnik čísel usporiadaných do riadkov a stĺpcov. Riadky sú vždy riadky zľava doprava (vodorovné) a stĺpce idú zhora nadol (zvislé).

Otázka: Ako sa reprezentujú matice?


A: Matice sa často znázorňujú veľkými rímskymi písmenami, napríklad A, B a C.

Otázka: Čo sa stane, keď vynásobíte dve matice?


Odpoveď: Súčin AB nedáva vždy rovnaký výsledok ako BA, čo je odlišné od násobenia obyčajných čísel.

Otázka: Môže mať matica viac ako dve dimenzie?


Odpoveď: Áno, matica môže mať viac ako dva rozmery, napríklad 3D matica. Môže byť aj jednorozmerná, ako jeden riadok alebo stĺpec.

Otázka: Kde sa používajú matice?


Odpoveď: Matice sa používajú v mnohých prírodných vedách a informatike, inžinierstve, fyzike, ekonomike a štatistike.

Otázka: Kedy sa na univerzitách vyučujú kurzy o maticiach?


Odpoveď: Na univerzitách sa kurzy o maticiach (zvyčajne nazývané lineárna algebra) zvyčajne vyučujú veľmi skoro počas štúdia - niekedy dokonca už v prvom ročníku štúdia.

Otázka: Je možné sčítať alebo odčítať matice?


Odpoveď: Áno - existujú pravidlá pre sčítanie a odčítanie matíc, ale tieto pravidlá sa líšia od pravidiel pre bežné čísla.


Prehľadať
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3