Matice: definícia, operácie, vlastnosti a použitie v lineárnej algebre

Vodorovné čiary v matici sa nazývajú riadky a zvislé čiary sa nazývajú stĺpce. Matica s m riadkami a n stĺpcami sa nazýva matica m-by-n (alebo m×n matica) a m a n sa nazývajú jej rozmery.

Miesta v matici, kde sa nachádzajú čísla, sa nazývajú položky. Položka matice A, ktorá leží v riadku číslo i a stĺpci číslo j, sa nazýva položka i,j matice A. Zapisuje sa ako A[i,j] alebo _ai,j.

Píšeme A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}}, aby sme definovali m × n maticu A s každým záznamom v matici nazývaným _ai,j pre všetky 1 ≤ i ≤ m a 1 ≤ j ≤ n.

Príklad

Matica

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\1&2&7\4&9&2\6&1&5\end{bmatrix}}

je matica 4×3. Táto matica má m=4 riadky a n=3 stĺpce.

Prvok A[2,3] alebo a2_,3 je 7.

Dodatok

Súčet dvoch matíc je matica, ktorej (i,j)-ty zápis sa rovná súčtu (i,j)-tych zápisov dvoch matíc:

[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

Obe matice majú rovnaké rozmery. Tu platí A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A}.

Násobenie dvoch matíc

Násobenie dvoch matíc je trochu zložitejšie:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\\koniec{bmatica}}={{začiatok{bmatica}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\koniec{bmatica}}}

Tak je to aj s číslami:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\1&4\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\5&0\\koniec{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

• dve matice možno navzájom násobiť, aj keď majú rôzne rozmery, ak sa počet stĺpcov v prvej matici rovná počtu riadkov v druhej matici.
• výsledkom násobenia, nazývaného súčin, je iná matica s rovnakým počtom riadkov ako prvá matica a rovnakým počtom stĺpcov ako druhá matica.
• násobenie matíc nie je komutatívne, čo vo všeobecnosti znamená, že A ⋅ B ≠ B ⋅ A {\displaystyle A\cdot B\neq B\cdot A}
• násobenie matíc je asociatívne, čo znamená, že ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}

Niektoré matice sú špeciálne.

Štvorcová matica

Štvorcová matica má rovnaký počet riadkov ako stĺpcov, takže m=n.

Príkladom štvorcovej matice je

[ 5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\0&9&1\-7&6&8\\\end{bmatrix}}

Táto matica má 3 riadky a 3 stĺpce: m=n=3.

Identita

Každá štvorcová rozmerová množina matice má špeciálny náprotivok nazývaný "matica identity". Identitná matica nemá nič iné ako nuly okrem hlavnej diagonály, kde sú samé jednotky. Napríklad:

[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\\koniec{bmatrix}}

je matica identity. Pre každú štvorcovú rozmerovú množinu existuje presne jedna matica identity. Matica identity je špeciálna, pretože pri násobení akejkoľvek matice maticou identity je výsledkom vždy pôvodná matica bez zmeny.

Inverzná matica

Inverzná matica je matica, ktorá sa po vynásobení inou maticou rovná matici identity. Napríklad:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\-6&7\\{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\0&1\\{bmatrix}}}

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\end{bmatrix}} je inverzný k [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\6&7\\end{bmatrix}} .

Vzorec pre inverznú hodnotu matice 2x2, [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}}} je:

( 1 d e t ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\-z&x\end{bmatrix}}

Kde d e t {\displaystyle det} je determinant matice. V matici 2x2 sa determinant rovná:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}}

Matica s jedným stĺpcom

Matica, ktorá má veľa riadkov, ale len jeden stĺpec, sa nazýva stĺpcový vektor.

Determinant berie štvorcovú maticu a vypočíta jednoduché číslo, skalár. Aby ste pochopili, čo toto číslo znamená, vezmite každý stĺpec matice a nakreslite ho ako vektor. Rovnobežník narysovaný týmito vektormi má plochu, ktorá je determinantom. Pre všetky matice 2x2 je vzorec veľmi jednoduchý: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc}

Pre matice 3x3 je vzorec zložitejší: Det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Pre determinanty väčších matíc neexistujú jednoduché vzorce a mnohí programátori študujú, ako prinútiť počítače rýchlo nájsť veľké determinanty.

Vlastnosti determinantov

Všetky determinanty sa riadia tromi pravidlami. Sú to:

• Determinant matice identity je 1
• Ak sa vymenia dva riadky alebo dva stĺpce matice, potom sa determinant vynásobí -1. Matematici to nazývajú striedanie.
• Ak sú všetky čísla v jednom riadku alebo stĺpci vynásobené iným číslom n, potom je determinant vynásobený n. Taktiež, ak má matica M stĺpec v, ktorý je súčtom dvoch stĺpcových matíc v 1 {\displaystyle v_{1}} a v 2 {\displaystyle v_{2}} , potom determinant M je súčtom determinantov M s v 1 {\displaystyle v_{1}} na mieste v a M s v 2 {\displaystyle v_{2}} na mieste v. Tieto dve podmienky sa nazývajú multilinearita.

• Lineárna algebra
• Numerická lineárna algebra