Zobrazenie (matematika)
V matematike je funkcia matematický objekt, ktorý po zadaní vstupu produkuje výstup - môže to byť číslo, vektor alebo čokoľvek, čo môže existovať vo vnútri množiny vecí.
Funkcia je teda ako stroj, ktorý prijíma hodnoty x a vracia výstup y. Množina všetkých hodnôt, ktoré môže mať x, sa nazýva doména. Množina, ktorá obsahuje všetky hodnoty, ktoré môže mať y, sa nazýva kodoména.
Ak sa tak stane, hovoríme, že y je funkcia x, a píšeme y =f(x). f je názov funkcie a píše sa f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 
(funkcia z X do Y) na vyjadrenie troch častí funkcie: domény (x), kodomény (y) a procesu párovania (šípka).
Príkladom funkcie je f(x)=x+1 Ako vstup zadáme prirodzené číslo x {\displaystyle x}
(0,1,2,3...) a dostaneme prirodzené číslo y {\displaystyle y} 
ktoré je x {\displaystyle x} +1 (1,2,3,4...) Myšlienka funkcie bola vytvorená tak, aby pokryla všetky druhy možností. Funkcia nemusí byť rovnica. Hlavnou myšlienkou je, že vstupy a výstupy sú nejakým spôsobom spárované, aj keď je proces veľmi komplikovaný.
Metafory
Tabuľky
Vstupy a výstupy môžete zadať do tabuľky ako na obrázku; je to jednoduché, ak nie je príliš veľa údajov.
Grafy
Na obrázku je vidieť, že 2 aj 3 boli spárované s c; v opačnom smere to nie je povolené, 2 nemohla vyviesť c a d,každý vstup môže mať len jeden výstup. Všetky f ( x ) {\displeje f(x)} 
(c a d na obrázku) sa zvyčajne nazývajú obrazová množina f {\displaystyle f}
a obrazová množina môže byť celá kodoména alebo nie. Dá sa povedať, že podmnožina A kodoménu s obrazovou množinou je f(A). Ak majú vstupy a výstupy nejaké poradie, je ľahké ich zakresliť do grafu:
spôsobom obraz príde na obraz množiny A. To urobí obaja 2 a 3 majú spárovaný s nie je dovolené v opačnom smere, dokonca sa dá urobiť medzi kodoménou alebo nie. Možno urobiť záver, že podmnožina A kodomény je obrazom množiny je F(A).
História
V roku 1690 GottfriedLeibniz a Johann Bernoulli použili slovo funkcia v písmenách medzi sebou, takže moderný koncept sa začal v rovnakom čase ako kalkulus.
V roku 1748 Leonhard Euler uviedol: V roku 1755 Euler povedal: "Funkcia premennej veličiny je analytický výraz zložený akýmkoľvek spôsobom z premennej veličiny a čísel alebo konštantných veličín." A potom v roku 1755: "Ak niektoré veličiny závisia od iných veličín tak, že ak sa tieto veličiny zmenia, zmenia sa aj tie prvé, potom sa prvé veličiny nazývajú funkciami tých druhých. Táto definícia platí pomerne široko a zahŕňa všetky spôsoby, ktorými by jedna veličina mohla byť determinovaná inou. Ak teda x označuje premennú veličinu, potom všetky veličiny, ktoré nejakým spôsobom závisia od x alebo sú ňou určené, sa nazývajú funkcie x.", čo je veľmi moderné.
Dirichletovi sa zvyčajne pripisuje verzia, ktorá sa používala v školách až do druhej polovice 20. storočia: "Je tiež jedno, akým spôsobom sa táto korešpondencia vytvorí."
V roku 1939 Bourbaki zovšeobecnil Dirichletovu definíciu a podal jej teoretickú verziu ako korešpondenciu medzi vstupmi a výstupmi; tá sa v školách používala približne od roku 1960.
Nakoniec v roku 1970 Bourbaki podal modernú definíciu ako trojicu f = ( X , Y , F ) {\displaystyle f=(X,Y,F)} 
, pričom F ⊂ X × Y , ( x , f ( x ) ) ∈ F {\displaystyle F\podmnožina X\časy Y,(x,f(x))\v F}
(t. j. f : X → Y {\displaystyle f:X\do Y} a F = { ( x , f ( x ) ) | x ∈ X , f ( x ) ∈ Y } {\displaystyle F=\{(x,f(x))|x\v X,f(x)\v Y\}} 
).
Typy funkcií
- Základné funkcie - funkcie, ktoré sa zvyčajne učia v škole: zlomky, odmocniny, funkcie sínus, kosínus a tangens a niektoré ďalšie funkcie.
- Neelementárne funkcie - Väčšina z nich nepoužíva operácie, ktoré sa neučíme v škole (ako + alebo -, alebo mocniny). Mnohé integrály sú neelementárne.
- Inverzné funkcie - funkcie, ktoré rušia inú funkciu. Napríklad: ak F(x) je inverzná funkcia k funkcii f(x)=y, potom F(y)=x. Nie všetky funkcie majú inverzné funkcie.
- Špeciálne funkcie: Funkcie, ktoré majú názvy. Napríklad: sínus, kosínus a tangens. Funkcie ako f(x)=3x (trikrát x) sa nenazývajú špeciálne funkcie. Môžu byť elementárne, neelementárne alebo inverzné.
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je to funkcia v matematike?
Odpoveď: Funkcia v matematike je objekt, ktorý po zadaní vstupu vytvára výstup, ktorým môže byť číslo, vektor alebo čokoľvek, čo môže existovať vo vnútri množiny vecí.
Otázka: Aké dve množiny sa spájajú s funkciami?
Odpoveď: Množina všetkých hodnôt, ktoré môže mať x, sa nazýva doména a množina, ktorá obsahuje každú hodnotu, ktorú môže mať y, sa nazýva kodoména.
Otázka: Ako sa často označujú funkcie?
Odpoveď: Funkcie sa často označujú kurzívou, napríklad f, g, h.
Otázka: Ako znázorňujeme funkciu?
Odpoveď: Funkciu reprezentujeme zápisom y = f(x), kde f je názov funkcie a píše sa f : X → Y (funkcia z X do Y), čím sa reprezentujú tri časti funkcie - doména (X), kodoména (Y) a párovací proces (šípka).
Otázka: Môžete uviesť príklad funkcie?
Odpoveď: Príkladom funkcie je f(x) = x + 1. Ako vstup zadáme prirodzené číslo x a dostaneme prirodzené číslo y, ktoré je x + 1. Ak napríklad zadáme ako vstup čísla 3 do funkcie f, dostaneme na výstupe číslo 4.
Otázka: Musí byť každá funkcia rovnicou?
Odpoveď: Nie, nie každá funkcia musí byť rovnicou. Hlavnou myšlienkou funkcií je, že vstupy a výstupy sú nejakým spôsobom spárované - aj keď to môže byť veľmi komplikované.
