AlegsaOnline.com

Cantorov diagonálny argument: dôkaz a kardinálnosť nekonečných množín

Prehľadný článok o Cantorovom diagonálnom argumente: dôkaz, vysvetlenie kardinálnosti nekonečných množín a historický kontext pre študentov a nadšencov matematiky.

Autor: Leandro Alegsa Dátum vytvorenia: 18. júna 2022 Posledná aktualizácia: 8. apríla 2026

Cantorov diagonálny argument je matematická metóda, ktorou Georg Cantor dokázal, že niektoré nekonečné množiny sú „väčšie“ než iné — t. j. nemajú rovnakú kardinalitu. Cantor o tejto idei publikoval práce v rokoch 1877, 1891 a 1899; jeho prvý dôkaz diagonálneho argumentu bol uverejnený okolo roku 1890 v časopise Nemeckej matematickej spoločnosti. Podľa Cantora majú dve množiny rovnakú kardinalitu, ak je možné ku každému prvku prvej množiny priradiť prvok z druhej množiny a ku každému prvku druhej množiny priradiť prvok prvej množiny. Táto definícia funguje veľmi prirodzene pre množiny s konečným počtom prvkov, menej intuitívna je pri nekonečných množinách.

Čo argument v skratke dokazuje

Diagonálny argument dokazuje napríklad, že množina všetkých reálnych čísel v intervale (0,1) nie je spočítateľná — nie je možné ich vyškatuľkovať do postupnosti r1, r2, r3, ... tak, aby každé reálne číslo v intervale malo nejaké prirodzené indexovanie. Inými slovami, univerzum reálnych čísel má väčšiu kardinalitu než množina prirodzených čísel.

Idea dôkazu (intuícia)

Povedzme, že máme zoznam (výčet) všetkých objektov z danej množiny: položky sú usporiadané ako prvok 1, prvok 2, prvok 3, ...
Cantorova myšlienka: skonštruujeme nový objekt tak, aby sa odlišoval od n-tého objektu aspoň v n-tej „pozícii“ (z toho názvu diagonálny postup).
Týmto spôsobom dostaneme objekt, ktorý nie je v žiadnej pozícii zoznamu, čo je spor s predpokladom, že zoznam obsahoval všetky objekty.

Dôkaz pre reálne čísla (skica)

Predpokladajme sporom, že všetky reálne čísla z intervalu (0,1) sú vyčíslené v zozname r1, r2, r3, .... Zapíšeme každé číslo v desiatkovej (alebo binárnej) rozvoji:

r1 = 0.d11 d12 d13 d14 ...
r2 = 0.d21 d22 d23 d24 ...
r3 = 0.d31 d32 d33 d34 ...

Teraz skonštruujeme nové číslo s desatinami c1, c2, c3, ... tak, že c_n sa líši od d_nn (napr. zvolíme c_n = 1 ak d_nn ≠ 1, inak c_n = 2). Nové číslo c = 0.c1 c2 c3 ... sa potom líši od r_n v n-tej cifre pre každé n, takže nemôže byť rovné žiadnemu r_n. To je spor, pretože sme predpokladali, že zoznam obsahoval všetky reálne čísla.

Poznámka o desiatkových rozvojoch: niektoré reálne čísla majú dve reprezentácie (napr. 0.4999... = 0.5000...). Aby sme sa vyhli tejto nejednoznačnosti, často sa používa binárny rozvoj s pravidlom „nepoužívať konečné repeticie 1“ alebo sa explicitne vylúčia reprezentácie končiace opakujúcimi sa 9 (alebo 1 v binárnom zápise).

Cantorova veta o potenčnej množine

Diagonálny argument sa dá formulovať všeobecnejšie: pre každú množinu A neexistuje surjekcia (a tým ani bijekcia) z A na jej potenčnú množinu P(A). Dôkaz:

Povedzme, že f : A → P(A) je ľubovoľné zobrazenie.
Definujme B = { x ∈ A | x ∉ f(x) } (množina prvkov, ktoré nie sú v obraze svojej vlastnej hodnoty).
B patrí medzi prvky P(A), tak keby bola f surjektívna, existovalo by a ∈ A s f(a) = B.
Otázka: patrí a do B? Ak áno, potom podľa definície B obsahuje práve tie x, ktoré nie sú v f(x), čiže a ∉ f(a) = B — spor. Ak a ∉ B, potom podľa definície musí byť a ∈ f(a) = B — opäť spor. Taká f teda nemôže existovať.

Táto argumentácia ukazuje, že P(A) má vždy striktne väčšiu kardinalitu než A. Pre A = N to znamená, že množina všetkých množín prirodzených čísiel (alebo množina všetkých binárnych sekvencií) má väčšiu kardinalitu než N; v dôsledku toho sú reálne čísla neprepočetné.

Dôsledky a kontext

Množiny, ktoré je možné zoradiť do postupnosti (ako N, Z, Q), nazývame spočítateľné (countable). Jej kardinalita sa označuje aleph-nulou (ℵ0).
Množina všetkých reálnych čísel má kardinalitu nazývanú kontinuita (často c), ktorá je rovná 2^{ℵ0} (kardinalite potenčnej množiny N).
Cantorov diagonálny argument je základným nástrojom v teórii množín a teórii informácií; používa sa aj pri dokazovaní neefektívnosti určitých algoritmov alebo pri konštrukcii neprekonateľných objektov v rôznych oblastiach matematiky a teoretickej informatiky.
Otázka, či existuje množina s kardinalitou medzi ℵ0 a c (tzv. Kontinuum hypotéza), je nezávislá od bežných axiómov množinovej teórie ZFC — Cantor teda otvoril dvere k hlbším problémom kardinálnosti.

Cantorov diagonálny argument je elegantný a mysliteľsky silný nástroj: jednoduchou, konštruktívnou metódou dokazuje, že niektoré nekonečné množiny sú podstatne „väčšie“ než iné, a tým zásadne zmenil chápanie nekonečna v modernej matematike.

Prvý Cantorov diagonálny argument

V nasledujúcom príklade sú použité dve najjednoduchšie nekonečné množiny, a to množina prirodzených čísel a množina kladných zlomkov. Cieľom je ukázať, že obe tieto množiny, N {\displaystyle \mathbb {N} } $\mathbb {N}$ a Q + {\displaystyle \mathbb {Q^{+}} } $\mathbb {Q^{+}}$ majú rovnakú kardinalitu.

Najprv sa zlomky zarovnajú do poľa takto:

1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 ⋯ 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 ⋯ 3 1 3 2 3 3 3 3 4 3 5 ⋯ 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 ⋯ 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}{\tfrac {1}{1}}&&{\tfrac {1}{2}}&&{\tfrac {1}{3}}&&{\tfrac {1}{4}}&&{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {2}{1}}&&{\tfrac {2}{2}}&&{{\tfrac {2}{3}}&&{\tfrac {2}{4}}&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {3}{1}}&&{\tfrac {3}{2}}&&{\tfrac {3}{3}}&&{\tfrac {3}{4}}&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {4}{1}}&&{\tfrac {4}{2}}&&{\tfrac {4}{3}}&&{\tfrac {4}{4}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {5}{1}}&&{\tfrac {5}{2}}&&{\tfrac {5}{3}}&&{\tfrac {5}{4}}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\\end{array}} ${\begin{array}{cccccccccc}{\tfrac {1}{1}}&&{\tfrac {1}{2}}&&{\tfrac {1}{3}}&&{\tfrac {1}{4}}&&{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {2}{1}}&&{\tfrac {2}{2}}&&{\tfrac {2}{3}}&&{\tfrac {2}{4}}&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {3}{1}}&&{\tfrac {3}{2}}&&{\tfrac {3}{3}}&&{\tfrac {3}{4}}&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {4}{1}}&&{\tfrac {4}{2}}&&{\tfrac {4}{3}}&&{\tfrac {4}{4}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {5}{1}}&&{\tfrac {5}{2}}&&{\tfrac {5}{3}}&&{\tfrac {5}{4}}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\\end{array}}$

Potom sa spočítajú čísla, ako je znázornené na obrázku. Zlomky, ktoré sa dajú zjednodušiť, sa vynechajú:

1 1 ( 1 ) → 1 2 ( 2 ) 1 3 ( 5 ) → 1 4 ( 6 ) 1 5 ( 11 ) → ↙ ↙ 2 1 ( 3 ) 2 2 ( ⋅ ) 2 3 ( 7 ) 2 4 ( ⋅ ) 2 5 ⋯ ↓ ↙ 3 1 ( 4 ) 3 2 ( 8 ) 3 3 ( ⋅ ) 3 4 3 5 ⋯ ↙ 4 1 ( 9 ) 4 2 ( ⋅ ) 4 3 4 4 4 5 ⋯ ↓ 5 1 ( 10 ) 5 2 5 3 5 4 5 5 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{array}{lclclclc}{\tfrac {1}{1}}\ _{\color {Blue}(1)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&{\tfrac {1}{2}}\ _{\color {Blue}(2)}&&{\tfrac {1}{3}}\ _{\color {Blue}(5)}&{Farba {Polnočná modrá}\rightarrow }&{{tfrac {1}{4}}&{{Farba {Modrá}(6)}&&{{tfrac {1}{5}}\{{Farba {Modrá}(11)}&{{\color {MidnightBlue}\rightarrow }\&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&\{\tfrac {2}{1}}\ _{\color {Blue}(3)}&&{\tfrac {2}{2}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {2}{3}}\ _{\color {Blue}(7)}&&{\tfrac {2}{4}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&\\{\tfrac {3}{1}}\ _{\color {Blue}(4)}&&{\tfrac {3}{2}}\ _{\color {Blue}(8)}&&{\tfrac {3}{3}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {3}{4}}&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&\\{\tfrac {4}{1}}&&{\tfrac {4}{2}}&&{\tfrac {4}{3}}&&{\tfrac {4}{4}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&&&\\{\tfrac {5}{1}}&&{\color {Blue}(10)}&{\tfrac {5}{2}}&&{\tfrac {5}{3}}&&{\tfrac {5}{4}}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\\end{array}} ${\begin{array}{lclclclclc}{\tfrac {1}{1}}\ _{\color {Blue}(1)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&{\tfrac {1}{2}}\ _{\color {Blue}(2)}&&{\tfrac {1}{3}}\ _{\color {Blue}(5)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&{\tfrac {1}{4}}\ _{\color {Blue}(6)}&&{\tfrac {1}{5}}\ _{\color {Blue}(11)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }\\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&\\{\tfrac {2}{1}}\ _{\color {Blue}(3)}&&{\tfrac {2}{2}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {2}{3}}\ _{\color {Blue}(7)}&&{\tfrac {2}{4}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&\\{\tfrac {3}{1}}\ _{\color {Blue}(4)}&&{\tfrac {3}{2}}\ _{\color {Blue}(8)}&&{\tfrac {3}{3}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {3}{4}}&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&\\{\tfrac {4}{1}}\ _{\color {Blue}(9)}&&{\tfrac {4}{2}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {4}{3}}&&{\tfrac {4}{4}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&&&\\{\tfrac {5}{1}}\ _{\color {Blue}(10)}&&{\tfrac {5}{2}}&&{\tfrac {5}{3}}&&{\tfrac {5}{4}}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\\end{array}}$

Týmto spôsobom sa počítajú zlomky:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 1 2 2 3 1 3 1 4 2 3 3 2 4 5 1 5 ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}\cdots }\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\[3pt]1&{\tfrac {1}{2}}&2&3&{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&{\tfrac {3}{2}}&4&5&{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\\end{array}}} ${\begin{array}{cccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}\cdots }\\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\[3pt]1&{\tfrac {1}{2}}&2&3&{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&{\tfrac {3}{2}}&4&5&{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\\end{array}}$

Vynechaním zlomkov, ktoré sa ešte dajú zjednodušiť, vznikne bijekcia, ktorá priradí každý prvok prirodzených čísel k jednému prvku zlomkov:

Aby sme ukázali, že všetky prirodzené čísla a zlomky majú rovnakú kardinalitu, je potrebné pridať prvok 0; za každý zlomok sa pridá jeho zápor;

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 - 1 1 2 - 1 2 2 - 2 3 - 3 1 3 - 1 3 1 4 - 1 4 2 3 - 2 3 ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}12}&{\color {Blue}13}&{\color {Blue}14}&{\color {Blue}15}&{\color {Blue}\cdots }\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\[3pt]0&1&-1&{\tfrac {1}{2}}&-{\tfrac {1}{2}}&2&-2&3&-3&{\tfrac {1}{3}}&-{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&-{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&-{\tfrac {2}{3}}&\cdots \\\end{array}}} ${\begin{array}{cccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}12}&{\color {Blue}13}&{\color {Blue}14}&{\color {Blue}15}&{\color {Blue}\cdots }\\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\[3pt]0&1&-1&{\tfrac {1}{2}}&-{\tfrac {1}{2}}&2&-2&3&-3&{\tfrac {1}{3}}&-{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&-{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&-{\tfrac {2}{3}}&\cdots \\\end{array}}$

Týmto spôsobom existuje úplná bijekcia, ktorá ku každému prirodzenému číslu priradí zlomok. Inými slovami: obe množiny majú rovnakú kardinalitu. Dnes sa množiny, ktoré majú rovnaký počet prvkov ako množina prirodzených čísel, nazývajú spočítateľné. Množiny, ktoré majú menej prvkov ako množina prirodzených čísel, sa nazývajú najviac spočítateľné. Podľa tejto definície je množina racionálnych čísel / zlomkov spočítateľná.

Nekonečné množiny majú často vlastnosti, ktoré sú v rozpore s intuíciou: David Hilbert to ukázal v experimente, ktorý sa nazýva Hilbertov paradox Grand Hotela.

Reálne čísla

Množina reálnych čísel nemá rovnakú kardinalitu ako množina prirodzených čísel; reálnych čísel je viac ako prirodzených čísel. Uvedená myšlienka ovplyvnila jeho dôkaz. Cantor vo svojom článku z roku 1891 uvažoval o množine T všetkých nekonečných postupností binárnych číslic (t. j. každá číslica je nula alebo jednotka).

Začína konštruktívnym dôkazom nasledujúcej vety:

Ak s₁ , s₂ , ... , s_n , ... je ľubovoľný výpočet prvkov z T, potom vždy existuje prvok s z T, ktorému nezodpovedá žiadny s_n vo výpočte.

Aby sme to dokázali, je daný výpočet prvkov z T, ako napr.

s₁ =	(0,	0,	0,	0,	0,	0,	0,	...)
s₂ =	(1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	...)
s₃ =	(0,	1,	0,	1,	0,	1,	0,	...)
s₄ =	(1,	0,	1,	0,	1,	0,	1,	...)
s₅ =	(1,	1,	0,	1,	0,	1,	1,	...)
s₆ =	(0,	0,	1,	1,	0,	1,	1,	...)
s₇ =	(1,	0,	0,	0,	1,	0,	0,	...)
...

Postupnosť s sa zostrojí tak, že sa zvolí 1. číslica ako komplementárna k 1. číslici s₁ (zamení sa 0 za 1 a naopak), 2. číslica ako komplementárna k 2. číslici s₂ , 3. číslica ako komplementárna k 3. číslici s₃ a všeobecne pre každé n sa zvolí n^th číslica ako komplementárna k n^th číslici s_n . V príklade to dáva:

s₁	=	(0,	0,	0,	0,	0,	0,	0,	...)
s₂	=	(1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	...)
s₃	=	(0,	1,	0,	1,	0,	1,	0,	...)
s₄	=	(1,	0,	1,	0,	1,	0,	1,	...)
s₅	=	(1,	1,	0,	1,	0,	1,	1,	...)
s₆	=	(0,	0,	1,	1,	0,	1,	1,	...)
s₇	=	(1,	0,	0,	0,	1,	0,	0,	...)
...

s	=	(1,	0,	1,	1,	1,	0,	1,	...)

Podľa konštrukcie sa s líši od každého s_n , pretože ich n^th číslice sa líšia (zvýraznené v príklade). Preto sa s nemôže vyskytovať vo výčte.

Na základe tejto vety potom Cantor pomocou dôkazu protirečením dokázal, že:

Množina T je nepočítateľná.

Predpokladá, že T bolo spočítateľné. V tom prípade by sa všetky jeho prvky dali zapísať ako výpočet s₁ , s₂ , ... , s_n , ... . Aplikovaním predchádzajúcej vety na tento výpočet by vznikla postupnosť s, ktorá do výpočtu nepatrí. Avšak s bol prvkom T, a preto by mal byť vo výčte. To je v rozpore s pôvodným predpokladom, takže T musí byť nepočítateľné.

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je Cantorův diagonálny argument?

Odpoveď: Cantorův diagonální argument je matematická metóda na dôkaz, že dve nekonečné množiny majú rovnakú kardinalitu.

Otázka: Kedy Cantor publikoval články o svojom diagonálnom argumente?

Odpoveď: Cantor uverejnil články o svojom diagonálnom argumente v rokoch 1877, 1891 a 1899.

Otázka: Kde bol uverejnený prvý Cantorov dôkaz diagonálneho argumentu?

Odpoveď: Prvý dôkaz Cantorovho diagonálneho argumentu bol uverejnený v roku 1890 v časopise Nemeckej matematickej spoločnosti (Deutsche Mathematiker-Vereinigung).

Otázka: Kedy majú podľa Cantora dve množiny rovnakú kardinalitu?

Odpoveď: Podľa Cantora majú dve množiny rovnakú kardinalitu, ak je možné ku každému prvku prvej množiny priradiť prvok z druhej množiny a ku každému prvku druhej množiny priradiť prvok prvej množiny.

Otázka: Platí Cantorovo tvrdenie o kardinalite aj pre množiny s konečným počtom prvkov?

Odpoveď: Áno, Cantorovo tvrdenie dobre funguje pre množiny s konečným počtom prvkov.

Otázka: Je Cantorovo tvrdenie o kardinalite intuitívne pre množiny s nekonečným počtom prvkov?

Odpoveď: Nie, Cantorovo tvrdenie o kardinalite je menej intuitívne pre množiny s nekonečným počtom prvkov.

Otázka: Koľkokrát Cantor publikoval články o svojom diagonálnom argumente?

Odpoveď: Cantor publikoval články o svojom diagonálnom argumente trikrát - v rokoch 1877, 1891 a 1899.