Bijektívne zobrazenie

Základné vlastnosti

Formálne:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} je bijektívna funkcia, ak ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B} existuje jedinečné a ∈ A {\displaystyle a\in A} také, že f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. }

Prvok b {\displaystyle b} sa nazýva obraz prvku a {\displaystyle a} .

• Formálna definícia znamená: Každý prvok kodomény B je obrazom presne jedného prvku v doméne A.

Prvok a {\displaystyle a} sa nazýva predobraz prvku b {\displaystyle b} .

• Formálna definícia znamená: Každý prvok kodomény B má presne jeden predobraz v doméne A.

Poznámka: Surjection znamená minimálne jeden predobraz. Injekcia znamená maximálne jeden predobraz. Takže bijekcia znamená presne jeden predobraz.

Kardinalita

Kardinalita je počet prvkov v množine. Kardinalita množiny A={X,Y,Z,W} je 4. Píšeme #A=4.

• Definícia: Dve množiny A a B majú rovnakú kardinalitu, ak medzi nimi existuje bijekcia. Takže #A=#B znamená, že existuje bijekcia z A do B.

Bijekcie a inverzné funkcie

• Bijekcie sú invertovateľné obrátením šípok. Nová funkcia sa nazýva inverzná funkcia.

Formálne: Nech f : A → B je bijekcia. Inverzná funkcia g : B → A je definovaná, ak f(a)=b, potom g(b)=a. (Pozri tiež Inverzná funkcia.)

• Inverzná funkcia inverznej funkcie je pôvodná funkcia.
• Funkcia má inverznú funkciu vtedy a len vtedy, ak je bijekciou.

Poznámka: Zápis inverznej funkcie f je mätúci. Konkrétne,

  f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} označuje inverznú funkciu funkcie f, ale x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} označuje recipročnú hodnotu čísla x.

Príklady

Elementárne funkcie

Nech f(x):ℝ→ℝ je reálna funkcia y=f(x) reálneho argumentu x. (To znamená, že vstup aj výstup sú čísla.)

• Grafický význam: Funkcia f je bijekcia, ak každá vodorovná priamka pretína graf funkcie f presne v jednom bode.
• Algebraický význam: Funkcia f je bijekcia, ak pre každé reálne číslo y_o môžeme nájsť aspoň jedno reálne číslo x_o také, že y_o =f(x_o ) a ak f(x_o )=f(x₁ ) znamená x_o =x₁ .

Príklad: Lineárna funkcia šikmej priamky je bijekcia. To znamená, že y=ax+b, kde a≠0 je bijekcia.

Diskusia: Každá vodorovná priamka pretína šikmú priamku presne v jednom bode (dôkazy nájdete v časti surjection a injection). Obrázok 1.

Príklad: Funkcia polynómu tretieho stupňa: f(x)=x³ je bijekcia. Obrázok 2 a obrázok 5 tenká žltá krivka. Jej inverzná funkcia je funkcia kořenov kocky f(x)= ∛x a je to tiež bijekcia f(x):ℝ→ℝ. Obrázok 5: hrubá zelená krivka.

Príklad: Kvadratická funkcia f(x) = x² nie je bijekcia (z ℝ→ℝ). Obrázok 3. Nie je to surjekcia. Nie je to injekcia. Jej doménu aj kodoménu však môžeme obmedziť na množinu nezáporných čísel (0,+∞), čím získame (inverznú) bijekciu (pozri príklady nižšie).

• doména
• funkčný stroj
• kodoména

Príklad: Predpokladajme, že naša funkcia je f(x)=x².

• Tento stroj a doména=ℝ a kodoména=ℝ nie je surjekcia ani injekcia. Avšak,
• tento istý stroj a doména=[0,+∞) a kodoména=[0,+∞) je surjekcia aj injekcia, a teda bijekcia.

Bijekcie a ich inverzie

Nech f(x):A→B, kde A a B sú podmnožiny ℝ.

• Predpokladajme, že f nie je bijekcia. Pre každé x, v ktorom existuje derivácia f a nie je nulová, existuje okolie x, v ktorom môžeme obmedziť doménu a kodoménu f na bisekciu.
• Grafy inverzných funkcií sú symetrické vzhľadom na priamku y=x. (Pozri tiež Inverzná funkcia.)

Príklad: Kvadratická funkcia definovaná na obmedzenom obore a kodoméne [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} definované f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}

je bijekcia. Obrázok 6: tenká žltá krivka.

Príklad: Funkcia odmocniny definovaná na obmedzenom obore a kodoméne [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} definované f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}

je bijekcia definovaná ako inverzná funkcia kvadratickej funkcie: x² . Obrázok 6: hrubá zelená krivka.

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )} definované f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1}

je bijekcia. Obrázok 4: tenká žltá krivka (a=10).

Príklad: Logaritmická funkcia báza a je definovaná na obmedzenom obore (0,+∞) a kodoméne ℝ

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R} } definované f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1}

je bijekcia definovaná ako inverzná funkcia exponenciálnej funkcie: a^x . Obrázok 4: hrubá zelená krivka (a=10).

Súvisiace stránky

• Funkcia (matematika)
• Surjektívna funkcia
• Injekčná funkcia
• Inverzná funkcia