Postupnosť (matematika)
Sekvencia je slovo, ktoré znamená "nasledujúci alebo nasledujúci, rad".
Používa sa v matematike a iných odboroch. V bežnom používaní znamená sériu udalostí, ktoré nasledujú jedna po druhej. V matematike sa postupnosť skladá z niekoľkých vecí, ktoré nasledujú jedna za druhou. Záleží na tom, v akom poradí sú tieto veci usporiadané: (modrá, červená, žltá) je postupnosť a (žltá, modrá, červená) je postupnosť, ale nie je to to isté. Postupnosti zložené z čísel sa nazývajú aj postupnosti.
Existujú dva druhy sekvencií. Jedným druhom sú konečné postupnosti, ktoré majú koniec. Napríklad (1, 2, 3, 4, 5) je konečná postupnosť. Postupnosti môžu byť aj nekonečné, čo znamená, že pokračujú ďalej a nikdy sa neskončia. Príkladom postupnosti, ktorá je nekonečná, je postupnosť všetkých párnych čísel, väčších ako 0. Táto postupnosť sa nikdy nekončí: začína sa číslami 2, 4, 6 a tak ďalej a vždy môžete pokračovať v menovaní párnych čísel.
Ak je postupnosť konečná, je ľahké povedať, aká je: môžete jednoducho zapísať všetky veci v postupnosti. V prípade nekonečnej postupnosti to nefunguje. Takže iný spôsob, ako zapísať postupnosť, je napísať pravidlo na nájdenie veci na ľubovoľnom mieste. Pravidlo by nám malo povedať, ako získať vec na n-tom mieste, ak n môže byť ľubovoľné číslo. Ak viete, čo je to funkcia, znamená to, že postupnosť je druh funkcie.
Napríklad pravidlo môže znieť, že vec na n-tom mieste je číslo 2×n (2-krát n). To nám hovorí, aká je celá postupnosť, hoci sa nikdy nekončí. Prvé číslo je 2×1, čo je 2. Druhé číslo je 2×2, teda 4. Ak chceme poznať sté číslo, je to 2×100, teda 200. Bez ohľadu na to, ktorú vec v postupnosti chceme, pravidlo nám môže povedať, čo to je.
Typy sekvencií
Aritmetické postupnosti (AP)
Rozdiel medzi výrazom a predchádzajúcim výrazom je vždy konštantný.
Príklad: 4 , 9 , 14 , 19 , 24 , 29 , 34 , ... {\displaystyle 4,9,14,19,24,29,34,\ldots } 
9 - 4 = 5, 14 - 9 = 5, 19 - 14 = 5, 24 - 19 = 5 atď.
takže ak vezmeme prvý člen ako A a konštantný rozdiel ako D, všeobecný vzorec pre aritmetickú postupnosť je T=a+(n-1)D, kde n je počet členov
Geometrické progresie (GP)
Pomer medzi výrazom a predchádzajúcim výrazom je vždy konštantný.
Príklad: 3 , 6 , 12 , 24 , 48 , 96 , 192 , ... {\displaystyle 3,6,12,24,48,96,192,\ldots } 
6 : 3 = 2, 12 : 6 = 2, 24 : 12 = 2, 48 : 24 = 2 atď.
všeobecný vzorec je T=ar^(n-1), kde a je prvý člen, r je pomer a n je počet členov.
Harmonické progresie (HP)
Rozdiel medzi reciprokou hodnotou výrazu a reciprokou hodnotou výrazu, ktorý mu predchádza, je konštanta.
Príklad: 3 , 1,5 , 1 , 3 4 , 3 5 , 3 6 , 3 7 , ... {\displaystyle 3,1,5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots } 
( 1 : 1,5 ) - ( 1 : 3 ) = 1 3 , ( 1 : 1 ) - ( 1 : 1,5 ) = 1 3 , ( 1 : 3 4 ) - ( 1 : 1 ) = 1 3 , {\displaystyle (1:1.5)-(1:3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1:1)-(1:1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1:{\tfrac {3}{4}})-(1:1)={\tfrac {1}{3},} 
a tak ďalej
Séria
Rad je súčet všetkých členov postupnosti.
všeobecný vzorec na výpočet súčtu aritmetickej postupnosti je
S=n/2 [2a=(n-1)d]
geometrickej postupnosti je
S= a/(1-r), ak je postupnosť nekonečná, a S= [a(1-r^n)]/(1-r), ak je konečná
tu a je prvý člen , d je spoločný rozdiel v aritmetickej postupnosti , r je pomer n geometrickej postupnosti a n je počet členov.
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je to postupnosť?
Odpoveď: Sekvencia je súbor súvisiacich udalostí, pohybov alebo predmetov, ktoré nasledujú za sebou v určitom poradí.
Otázka: Ako sa používa?
Odpoveď: Používa sa v matematike a iných odboroch. V bežnom používaní znamená sériu udalostí, ktoré nasledujú jedna po druhej.
Otázka: Aké sú dva druhy postupností?
Odpoveď: Dva druhy postupností sú konečné postupnosti, ktoré majú koniec, a nekonečné postupnosti, ktoré sa nikdy nekončia.
Otázka: Môžete uviesť príklad nekonečnej postupnosti?
Odpoveď: Príkladom nekonečnej postupnosti je postupnosť všetkých párnych čísel väčších ako 0. Táto postupnosť sa nikdy nekončí, začína sa číslami 2, 4, 6 atď.
Otázka: Ako môžeme zapísať nekonečnú postupnosť?
Odpoveď: Nekonečnú postupnosť môžeme zapísať tak, že napíšeme pravidlo na nájdenie veci na ľubovoľnom mieste. Pravidlo by nám malo povedať, ako dostať vec na n-tom mieste, kde n môže byť ľubovoľné prirodzené číslo.
Otázka: Čo znamená (a_n) pri zápise postupnosti?
Odpoveď: (a_n) znamená n-ty člen postupnosti.
