Konštantná funkcia

Základné vlastnosti

Formálne má konštantná funkcia f(x):R→R tvar f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} . Zvyčajne píšeme y ( x ) = c {\displaystyle y(x)=c} alebo len y = c {\displaystyle y=c} .

• Funkcia y=c má 2 premenné x a u a 1 konštantu c. (V tomto tvare funkcie nevidíme x, ale je tam.)

• Konštanta c je reálne číslo. Pred prácou s lineárnou funkciou nahradíme c skutočným číslom.
• Doménou alebo vstupom y=c je R. Takže vstupom môže byť ľubovoľné reálne číslo x. Výstupom je však vždy hodnota c.
• Rozsah y=c je tiež R. Keďže však výstupom je vždy hodnota c, kodoména je práve c.

Príklad: Funkcia y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4} alebo len y = 4 {\displaystyle y=4}je špecifická konštantná funkcia, ktorej výstupná hodnota je c = 4 {\displaystyle c=4} . Oblasťou sú všetky reálne čísla ℝ. Kodoména je práve {4}. Konkrétne y(0)=4, y(-2,7)=4, y(π)=4,.... Bez ohľadu na to, aká hodnota x je na vstupe, výstupom je "4".

• Graf konštantnej funkcie y = c {\displaystyle y=c} je vodorovná priamka v rovine, ktorá prechádza bodom ( 0 , c ) {\displaystyle (0,c)} .
• Ak c≠0, konštantná funkcia y=c je polynóm v jednej premennej x stupňa nula.

• Interceptom y tejto funkcie je bod (0,c).
• Táto funkcia nemá x-intercept. To znamená, že nemá koreň ani nulu. Nikdy nepretína os x.

• Ak c=0, potom máme y=0. Toto je nulový polynóm alebo identicky nulová funkcia. Každé reálne číslo x je koreňom. Grafom y=0 je os x v rovine.
• Konštantná funkcia je párna funkcia, takže os y je osou symetrie pre každú konštantnú funkciu.

Derivácia konštantnej funkcie

V kontexte, v ktorom je definovaná, meria derivácia funkcie rýchlosť zmeny hodnôt funkcie (výstupu) vzhľadom na zmenu vstupných hodnôt. Konštantná funkcia sa nemení, takže jej derivácia je rovná 0. Často sa to zapisuje:   ( c ) ′ = 0 {\displaystyle (c)'=0}  

Príklad: y ( x ) = - 2 {\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}}je konštantná funkcia. Derivácia y je identicky nulová funkcia y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {\displaystyle y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0}  

Platí to aj naopak. To znamená, že ak je derivácia funkcie všade nulová, potom je funkcia konštantná.

Matematicky zapíšeme tieto dva výroky:

y ( x ) = c ⇔ y ′ ( x ) = 0 , ∀ x ∈ R {\displaystyle y(x)=c\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,y'(x)=0\,,\,\,\forall x\in \mathbb {R} }

Zovšeobecnenie

Funkcia f : A → B je konštantná funkcia, ak f(a) = f(b) pre každé a a b v A.

Príklady

Príklad z reálneho sveta: Obchod, v ktorom sa každý tovar predáva za 1 euro. Doménou tejto funkcie sú položky v obchode. Spoluoblasťou je 1 euro.

Príklad: Nech f : A → B, kde A={X,Y,Z,W} a B={1,2,3} a f(a)=3 pre každé a∈A. Potom f je konštantná funkcia.

Príklad: z(x,y)=2 je konštantná funkcia z A=ℝ² do B=ℝ, kde každý bod (x,y)∈ℝ² je zobrazený na hodnotu z=2. Grafom tejto konštantnej funkcie je horizontálna rovina (rovnobežná s rovinou x0y) v trojrozmernom priestore, ktorá prechádza bodom (0,0,2).

Príklad: Polárna funkcia ρ(φ)=2,5 je konštantná funkcia, ktorá zobrazuje každý uhol φ na polomer ρ=2,5. Grafom tejto funkcie je kružnica s polomerom 2,5 v rovine.

Ďalšie vlastnosti

Existujú aj ďalšie vlastnosti konštantných funkcií. Pozri Konštantná funkcia na anglickej Wikipédii

Súvisiace stránky

• Funkcia
• Polynom