Hypotéza kontinua: definícia, história a nezávislosť v teórii množín

Hypotéza kontinua: definícia, historický vývoj a nezávislosť v teórii množín — od Cantora cez Gödelov a Cohenov výsledok až po súčasné diskusie a dopady.

Hypotéza kontinua je hypotéza, ktorá tvrdí, že neexistuje množina, ktorej kardinalita leží striktne medzi kardinalitou prirodzených čísel a kardinalitou reálnych čísel. Inak povedané, medzi množinou všetkých prirodzených čísel a množinou reálnych čísel nie je žiadna množina „strednej veľkosti“. Túto myšlienku prvýkrát formuloval Georg Cantor v roku 1877.

Definícia a základné pojmy

Množina je nekonečná, ak jej prvky nemožno vyčíslovať tak, aby sme ich vyčerpali; presnejšie: hovoríme, že množina je spočítateľná (alebo má kardinalitu aleph-nula) práve vtedy, ak existuje bijekcia medzi ňou a množinou prirodzených čísel. Cantor dokázal pomocou diagonálneho argumentu, že množina reálnych čísel nie je spočítateľná a teda má väčšiu kardinalitu než množina prirodzených čísel.

V teorii množín sa kartalita (počet prvkov) nekonečných množín porovnáva pomocou bijekcií. Označenie aleph_0 (ℵ0) sa používa pre kardinalitu množiny prirodzených čísel. Kardinalita množiny reálnych čísel sa často značí symbolom c (kon­tinuum) a rovná sa kardinalite množiny všetkých podmnožín naturálnej množiny, teda c = 2^{ℵ0}.

Formulácia hypotézy

Formálne sa Hypotéza kontinua (CH) dá vyjadriť ako rovnosť 2^{ℵ0} = ℵ1, kde ℵ1 je prvé nekonečné kardinalné číslo po ℵ0 (t. j. kardinalita prvoho nepočítateľného poradia). Ekvivalentne: neexistuje množina X taká, že |ℵ0| < |X| < |c|.

Krátka história

CH sa stala jedným z centrálnych problémov fundamentálnej matematiky. V zozname 23 problémov, ktoré David Hilbert uverejnil v roku 1900, figurovala ako prvý problém (zozname).

V prvej polovici 20. storočia Kurt Gödel (práce z rokov 1938–39, publikované 1940) preukázal, že CH nemožno vyvrátiť z axiomatickej sústavy Zermelo–Fraenkelovych teórií (ak je táto sústava konzistentná): konkrétne zkonštruoval tzv. konštruktívne univerzum L, v ktorom platí axioma výberu aj kontinua, a tak ak ZF je konzistentná, potom ZF + AC + CH sú konzistentné. (V pôvodnom texte sa odkazuje na Zermelo-Fraenkelovejteórie množín ako bežné axiomatické nastavenie.)

Následne v 60. rokoch Paul Cohen vyvinul metódu forcing a ukázal, že CH nemožno ani dokázať z tej istej sústavy (Zermelo–Fraenkel s axiómom výberu, skrátene ZFC): to znamenalo, že ani negácia CH nie je odvodením z ZFC, ak je ZFC konzistentná. Cohen za svoje výsledky, ktoré prelomovo zmenili pohľad na axiomatizáciu matematiky, získal Fieldsovu medailu.

Nezávislosť a dôsledky

Súhrnne: CH je nezávislá od bežne používaných axióm (ZFC): z týchto axióm nie je možné CH dokázať ani jej opak dokázať. To znamená, že existujú modely teórie množín, v ktorých CH platí, a modely, v ktorých CH neplatí; v rôznych modeloch môže byť veľkosť kontinuua rôzna (napríklad c = ℵ1, c = ℵ2 alebo aj oveľa väčšia podľa konštrukcie modelu).

Existujú všeobecnejšie otázky, napr. Generalizovaná hypotéza kontinua (GCH), ktorá predpisuje hodnoty funkcie 2^{κ} pre všetky kardinaly κ. Výsledky ako Eastonovo kritérium ukazujú, že pri dodržaní niektorých obmedzení môže funkcia 2^{κ} nad regulárnymi kardinalmi nadobúdať rôzne hodnoty. Aj zavedenie silnejších axióm (napr. forcingových axiómov ako PFA) má dôsledky pre veľkosť kontinuua: určité silné axiomy vedú k tomu, že c = ℵ2, ale tieto axiomy sú samy o sebe nezávislé od ZFC alebo ich konzistentnosť vyžaduje silné predpoklady (napr. existenciu veľkých kardinalov).

Súčasný pohľad a otvorené otázky

Hypotéza kontinua zostáva jedným z najvýznamnejších otvorených problémov v základe matematiky v tom zmysle, že rozhodnutie jej pravdivosti si vyžaduje prijatie nových axióm alebo princípov, ktoré by presvedčivo doplnili ZFC. Medzi súčasnými prístupmi sú snahy nájsť nové axiómy, ktoré by boli filozoficky alebo matematicky podložené a zároveň rozhodovali otázku kontinuua, a paralelne rozvoj forcingu a vyšších axiomatík, ktoré študujú možné správanie kardinálnych funkcií.

Pre laika je dôležité vedieť: Cantor ukázal, že reálne čísla sú „viac“ než prirodzené (neexistuje bijekcia medzi nimi), CH sa pýta, či existuje „stupienok“ medzi týmto dvoma nekonečnými veľkosťami, a moderná teória množín ukázala, že v rámci bežných axióm sa túto otázku nedá jednoznačne zodpovedať.

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to hypotéza kontinua?

Otázka: Kto a kedy vyslovil hypotézu kontinua?

Otázka: Je prirodzených čísel nekonečne veľa?

Otázka: Aká je kardinalita množiny prirodzených čísel?

Otázka: Je viac reálnych čísel ako prirodzených čísel?

Otázka: Možno falzifikovať hypotézu kontinua pomocou Zermelo-Fraenkelovej teórie množín?

Otázka: Kto ukázal, že Zermelo-Fraenkelova teória množín sa nedá použiť na dôkaz hypotézy kontinua?

Hľadajte podľa písmena