Prehľad
Reálne čísla tvoria základnú množinu čísel, s ktorou sa bežne pracuje v matematike a vo vede. Zahŕňajú racionálne čísla (tie, ktoré možno vyjadriť pomerom dvoch celých čísel) aj iracionálne čísla (tie, ktoré takéto vyjadrenie nemajú). Bežná predstava reálnych čísel sa viaže na číselnú os: každému reálnemu číslu zodpovedá bod na tejto osi; nula je referenčným bodom. Pojem čísla v tomto zmysle zahŕňa všetky tieto hodnoty a vytvára súvislú premennú, ktorú používame pri meraní, geometrii a analýze. 
Základné vlastnosti
Reálne čísla majú niekoľko algebraických a usporiadacích vlastností, ktoré ich odlišujú od iných množín čísel. Algebraicky tvoria pole s operáciami sčítania a násobenia, ktoré spĺňajú asociatívne, komutatívne a distributívne zákony. Sú tiež zoradené; medzi dvoma rôznymi reálnymi číslami vždy môžeme určiť, ktoré je väčšie alebo menšie. Dôležitým topologickým a analytickým znakom je úplnosť: každá ohraničená súvislá množina reálnych čísel má infimum a supremum, čo je vlastnosť, ktorú nemá napríklad množina racionálnych čísel. Ďalšou kľúčovou vlastnosťou je hustota: medzi akýmikoľvek dvoma rôznymi reálnymi číslami existuje iné reálne číslo; toto platí súčasne pre racionálne i iracionálne čísla.
Vlastnosti, ktoré sa často zdôrazňujú
- Poradie: existuje priamka so zmyslom "väčší" a "menší".
- Hustota: medzi dvoma údajmi vždy nájdeme ďalšie číslo.
- Úplnosť: klesajúce alebo stúpajúce ohraničené postupnosti konvergujú v reálnych číslach.
- Kardinálnosť: množina reálnych čísel je nespočítateľná, teda je „väčšia“ než množina celých alebo racionálnych čísel.
- Algebraické vzťahy: reálne čísla sú podmnožinou komplexných čísel; každé reálne číslo možno považovať za komplexné s nulovou imaginárnou zložkou.
Konštrukcia a historický kontext
Koncept reálnych čísel sa vyvíjal postupne. Už staroveké civilizácie pracovali s postupnosťami meraní a odmocnín; objav iracionálnych čísel (ako odmocnina z dvoch) v antike viedol k nutnosti rozšíriť predstavu čísel. Formálna konštrukcia reálnych čísel bola zdôraznená v 19. storočí: bežne sa používa buď prístup cez Dedekindove rezy (rozdelenia racionálnych čísel na dve súvislé množiny) alebo cez triedy Cauchyových postupností racionálnych čísel. Obidve metódy zabezpečujú úplnosť a vytvárajú „uzavretie“ racionálnych čísel tak, aby všetky hranice konvergentných postupností boli súčasťou výslednej množiny.
Použitia a príklady
Reálne čísla sa využívajú všade tam, kde treba popísať kontinuálne zmeny: v matematickej analýze pri diferenciáloch a integráloch, v geometrii pri dĺžkach a uhloch, v fyzike pri veličinách ako dĺžka, čas či rýchlosť a v technike pri meraní a modelovaní. Príklady konkrétnych reálnych čísel sú 0, 1/2, -3.14, odmocnina zo 2, či číslo p (pi). Mnohé číselné vlastnosti je možné skúmať aj cez postupnosti a limity; pojem postupnosti a konvergencie je preto s reálnymi číslami úzko spätý.
Súvisiace množiny a dôležité rozdiely
Vnútri množiny reálnych čísel ležia rôzne podmnožiny: celé čísla, racionálne čísla, algebraické čísla a nepravidelné iracionály. Racionálne čísla sú spočítateľné a tvoria hustú, ale neúplnú podmnožinu reálnych čísel; iracionálne čísla dopĺňajú racionály tak, že výsledkom je úplná množina. Množinu reálnych čísel možno zobraziť na číselnej osi (číselná os), pričom pevný bod osi reprezentuje nulu, ktorá zohráva neutrálne miesto pri sčítaní a odčítaní.
Pozoruhodné fakty
Niektoré vlastnosti reálnych čísel sú pre bežnú intuíciu prekvapivé: medzi každými dvoma reálnymi číslami je nielen jedno, ale nekonečne veľa ďalších; neexistuje najväčšie ani najmenšie reálne číslo; a hoci sú celkový počet reálnych čísel a celých čísel oba nekonečné, reálne čísla tvoria vyšší druh nekonečna, pretože sú nespočítateľné, zatiaľ čo celé čísla sú spočítateľné. Tieto vlastnosti sú kľúčové pre modernú matematickú analýzu a každý študent pokročilej matematiky sa s nimi oboznámi pri štúdiu limít, spojitosti a mieriteľnosti.
Pre ďalšie čítanie a prehĺbenie pojmov môžete využiť externé zdroje o racionálnych číslach, iracionálnych číslach, pojme čísla, číselnej osi, nule, nespočítateľnosti, postupnostiach a komplexných číslach.
