V matematike je konvexný regulárny 4-polytope (alebo polychoron) 4-rozmerný (4D) polytope, ktorý je regulárny a konvexný. Ide o štvorrozmerné analógie platónskych telies (v troch rozmeroch) a pravidelných mnohouholníkov (v dvoch rozmeroch).

Tieto polytópy prvýkrát opísal švajčiarsky matematik Ludwig Schläfli v polovici 19. storočia. Schläfli zistil, že existuje presne šesť takýchto útvarov. Päť z nich možno považovať za vyššie rozmerové analógie platónskych telies. Existuje jeden ďalší útvar (24-bunka), ktorý nemá trojrozmerný ekvivalent.

Každý konvexný pravidelný 4-polytop je ohraničený množinou trojrozmerných buniek, ktoré sú všetky platónskymi telesami rovnakého typu a veľkosti. Tie sú pozdĺž svojich príslušných stien priradené k sebe pravidelným spôsobom.

Šesť konvexných regulárnych 4-polytopov — prehľad

Presných šesť konvexných regulárnych 4-polytopov (často označovaných podľa počtu buniek alebo bežných názvov) sú:

  • 5-cell (4-simplex) — Schläfliho symbol {3,3,3}. Je to 4-rozmerný simplex; hranicou sú 5 tetraédrových buniek. Počty: V=5, E=10, F=10 (trojuholníkové steny), C=5 (tetraédre). Je samodualny (duál k sebe samému).
  • 8-cell (tesserakt, hyperkocka) — Schläfliho symbol {4,3,3}. Ohraničený 8 kockami. Počty: V=16, E=32, F=24 (štvorcové steny), C=8 (kocky). Duálny k 16-cell.
  • 16-cell (hexadecachoron) — Schläfliho symbol {3,3,4}. Má 16 tetraédrových buniek. Počty: V=8, E=24, F=32, C=16. Duálny k tesseraktu (8-cell).
  • 24-cell (icositetrachoron) — Schläfliho symbol {3,4,3}. Unikátny 4-polytop bez priameho 3D prototypu; hranicou sú 24 osemstenných (octaédrových) buniek. Počty: V=24, E=96, F=96 (trojuholníky), C=24 (oktaédre). 24-cell je samodualny.
  • 120-cell (hekatonicosachoron) — Schläfliho symbol {5,3,3}. Ohraničený 120 dvanásťstennými (dodekaédrovými) bunkami. Počty: V=600, E=1200, F=720 (päťuholníkové steny), C=120 (dvanásťstenné bunky). Duálny k 600-cell.
  • 600-cell (hexacosichoron) — Schläfliho symbol {3,3,5}. Má 600 tetraédrových buniek. Počty: V=120, E=720, F=1200, C=600. Duálny k 120-cell.

Ďalšie vlastnosti a súvislosti

  • Schläfliho symbol {p,q,r} v 4D udáva, že bunky sú pravidelné polyédre typu {p,q} (t. j. tvary, ktorých tváre sú p‑uholníky so susedstvom q pri každom vrchole) a r buniek sa stretáva pri každom hraničnom (ridge) elemente. Schläfliho symboly pre tieto šesť útvarov sú uvedené pri každom z nich vyššie.
  • Dvojice duálnych útvarov: v 4D platí, že niektoré polytopy sú duálne – pri dualizácii sa menia počet vrcholov a buniek. Z uvedených príkladov sú páry (8-cell ↔ 16-cell) a (120-cell ↔ 600-cell); 5-cell a 24-cell sú samodualne.
  • Súvisiace Coxeterove grupy: symetrie týchto útvarov sú opísané Coxeterovými systémami. 5-cell súvisí s A4, tesserakt a 16-cell s B4 (alebo C4), 24-cell s F4 a 120/600-cell s H4. Tieto grupy určujú celý súbor zrkadlových a rotačných symetrií tvarov.
  • Topologická vlastnosť: hranica konvexného regulárneho 4-polytopu je topologicky 3‑sférou S^3. Eulerova charakteristika pre túto hranicu (ako 3‑sféru) je 0, čo všeobecne zodpovedá vzťahu V − E + F − C = 0 pre uzavretú 3‑rozmernú hranicu polytope.
  • Geometrická a vizualizačná intuícia: hoci priestor v 4 rozmeroch nemožno priamo zobraziť v našom trojrozmernom vnímaní, existujú štandardné projekcie, rezy a Schlegelove diagramy, ktorými sa tieto objekty reprezentujú. Projekcie do 3D (a potom do 2D) pomáhajú pochopiť ich štruktúru a symetrie.

Prečo ich je len šesť?

Schläfliho dôkaz vychádza z obmedzení vyplývajúcich z miestnych uhlov okolo elementov hranice (podobne ako pri Platónskych telesách v 3D). V 4D kombinácia možných pravidelných polyédrov ako buniek a počtu buniek stretajúcich sa pri spoločnom prvku je prísne obmedzená; len šesť kombinácií spĺňa všetky podmienky regulárnosti a konvexnosti. Tým sa vysvetľuje jedinečnosť súboru šiestich konvexných regulárnych 4-polytopov.

Tento prehľad poskytuje základné informácie o týchto šiestich telách, ich štruktúre a vzájomných vzťahoch. Pre hlbšie štúdium sa odporúčajú zdroje z teórie Coxeterových skupín, Schläfliho pôvodné práce a moderné texty o vyšších rozmeroch a geometrických projekciách.