Algebraická rovnica
V matematike je algebraická rovnica, nazývaná aj polynomiálna rovnica v danom poli, rovnica v tvare
P = Q {\displaystyle P=Q} 
kde P a Q sú polynómy nad týmto poľom a majú jednu (jednorozmernú) alebo viac ako jednu (viacrozmernú) premennú. Napríklad:
y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}} 
je algebraická rovnica nad racionálnymi číslami.
Dve rovnice sa nazývajú ekvivalentné, ak majú rovnakú množinu riešení. To znamená, že všetky riešenia druhej rovnice musia byť zároveň riešeniami prvej rovnice a naopak. Rovnica P = Q {\displaystyle P=Q} je ekvivalentná s P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}
. Štúdium algebraických rovníc je teda ekvivalentné štúdiu polynómov.
Ak je algebraická rovnica nad racionálnymi číslami, vždy sa dá previesť na ekvivalentnú rovnicu, kde sú všetky koeficienty celé čísla. Napríklad v rovnici uvedenej vyššie vynásobíme 42 = 2-3-7 a zoskupíme členy v prvom člene. Rovnica sa prevedie na
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} 
Riešenia rovnice sú hodnoty premenných, pre ktoré rovnica platí. Pri algebraických rovniciach sa však nazývajú aj korene. Pri riešení rovnice musíme povedať, v ktorej množine sú riešenia prípustné. Napríklad pre rovnicu nad racionálnymi číslami môžeme nájsť riešenia v celých číslach. Potom je rovnica diofantická rovnica. Riešenia môžeme hľadať aj v obore komplexných čísel. Riešenia možno hľadať aj v reálnych číslach.
Starovekí matematici hľadali riešenia jednorozmerných rovníc (t. j. rovníc s jednou premennou) v podobe radikálových výrazov, ako napríklad x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
pre kladné riešenie rovnice x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}
. Takto vedeli riešiť rovnice stupňa 2 (teda rovnice, v ktorých je najvyššia mocnina premennej 2) už starí Egypťania. Počas renesancie Gerolamo Cardano vyriešil rovnicu stupňa 3 a Lodovico Ferrari rovnicu stupňa 4. Napokon Niels Henrik Abel v roku 1824 dokázal, že rovnicu stupňa 5 a rovnice vyšších stupňov nemožno vždy riešiť pomocou radikálov. Galoisova teória, pomenovaná po Évariste Galoisovi, bola zavedená s cieľom poskytnúť kritériá rozhodujúce o tom, či je rovnica riešiteľná pomocou radikálov.
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je to algebraická rovnica?
Odpoveď: Algebraická rovnica je rovnica v tvare P = Q, kde P a Q sú polynómy v danom poli s jednou alebo viacerými premennými.
Otázka: Ako môžu byť dve rovnice ekvivalentné?
Odpoveď: Dve rovnice sa považujú za ekvivalentné, ak majú rovnakú množinu riešení, čo znamená, že všetky riešenia jednej rovnice musia byť zároveň riešeniami druhej rovnice a naopak.
Otázka: Čo znamená vyriešiť rovnicu?
Odpoveď: Riešiť rovnicu znamená nájsť hodnoty premenných, ktoré rovnicu robia pravdivou. Tieto hodnoty sa nazývajú korene.
Otázka: Dajú sa algebraické rovnice nad racionálnymi číslami vždy previesť na rovnice s celočíselnými koeficientmi?
Odpoveď: Áno, vynásobením oboch strán číslom, napríklad 42 = 2-3-7, a zoskupením členov v prvom člene možno každú algebraickú rovnicu nad racionálnymi číslami previesť na rovnicu s celočíselnými koeficientmi.
Otázka: Kedy chceli starovekí matematici radikálne výrazy pre jednorovnicové rovnice?
Odpoveď: Starovekí matematici chceli radikálové výrazy (ako x=1+√5/2) pre jednorozmerné rovnice (rovnice s jednou premennou) v období renesancie.
Otázka: Kto v tomto období riešil rovnice 3. a 4. stupňa?
Odpoveď: Gerolamo Cardano riešil rovnice 3. stupňa a Lodovico Ferrari riešil rovnice 4. stupňa v tomto období.
Otázka: Kto dokázal, že rovnice vyššieho stupňa sa nedajú vždy riešiť pomocou radikálov?
Odpoveď: Niels Henrik Abel v roku 1824 dokázal, že rovnice vyššieho stupňa nemožno vždy riešiť pomocou radikálov.
