N-tý koreň (radikál, odmocnina): definícia, vlastnosti a príklady

N-tý koreň (odmocnina): jasná definícia, vlastnosti a praktické príklady. Naučte sa výpočty, pravidlá a prepojenie s mocninami pre rýchle pochopenie.

Autor: Leandro Alegsa

22-12-2025 21:50

N-tý koreň čísla r je číslo, ktoré, ak sa n-krát vynásobí samým sebou, tvorí r. Nazýva sa tiež radikál alebo radikálový výraz. Dá sa povedať, že je to číslo k, pre ktoré platí táto rovnica:

k n = r {\displaystyle k^{n}=r} $k^{n}=r$

(pre význam k n {\displaystyle k^{n}} $k^{n}$ , prečítajte si exponenciácia.)

Zapíšeme ho takto: r n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}} ${\sqrt[{n}]{r}}$ . Ak je n 2, potom je radikálový výraz odmocninou. Ak je to 3, je to odmocnina z kocky.

Napríklad 8 3 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2} ${\sqrt[{3}]{8}}=2$ , pretože 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8} $2^{3}=8$ . Číslo 8 v tomto príklade sa nazýva radicand, číslo 3 sa nazýva index a časť v tvare šachovnice sa nazýva radikálový symbol alebo radikálový znak.

Korene a mocniny možno meniť podľa vzoru x a b = x a b = ( x b ) a = ( x a ) 1 b {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}} ${\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}$ .

Vlastnosť súčinu radikálového výrazu je znázornená v a b = a × b {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}} ${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}$ .

Vlastnosť kvocientu radikálového výrazu je znázornená v tvare a b = a b {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}} ${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ .

Rozšírené vysvetlenie a dôležité poznámky

Definícia (stručne): N-tý koreň čísla r, zapísaný ako {\sqrt[{n}]{r}}, je každé číslo k také, že kⁿ = r. V praxi sa pri paritách indexu rozlišuje:

Ak je n párne (napr. 2, 4, 6...), potom v reálnych číslach je {\sqrt[{n}]{r}} definovaný iba pre r ≥ 0 a obvykle označuje hlavnú (nezápornú) odmocninu.
Ak je n nepárne (napr. 3, 5, 7...), koreň existuje pre ľubovoľné reálne r a môže byť záporný (napr. {\sqrt[{3}]{-8}}=-2).

Hlavné pravidlá a vlastnosti

Prevod na racionálny exponent: {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac{a}{b}}. To umožňuje počítať korene pomocou zákonov mocnín.
Súčin pod odmocninou: Ak sú hodnoty platné (napr. pri párnom indexe sú obe nezáporné), platí {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot{\sqrt[{n}]{b}}.
Kvocient pod odmocninou: Pri vhodných podmienkach platí {\sqrt[{n}]{\frac{a}{b}}}=\frac{{\sqrt[{n}]{a}}}{{\sqrt[{n}]{b}}}, ak b ≠ 0 a pre párny index sú menovateľ a čitateľ ≥ 0.
Výťah do mocnín: ({\sqrt[{n}]{x}})^{m}={\sqrt[{n}]{x^{m}}}=x^{\frac{m}{n}}.
Riešenie rovnice kⁿ=r: Ak hľadáme všetky reálne riešenia rovnice, pre párne n sú riešenia ±{\sqrt[{n}]{r}} (ak r>0), zatiaľ čo pre nepárne n je jediné reálne riešenie {\sqrt[{n}]{r}}.

Príklady zjednodušenia radikálov

Extrahovanie dokonalých mocnín: sqrt{50} = sqrt{25·2} = 5·sqrt{2} (všeobecnejšie: pri n-tom koreňy vyťahujeme faktory, ktoré sú n-tými mocninami).
Príklad pre 4. koreň: {\sqrt[4]{16}}=2, pretože 2⁴=16.
Príklad s vyťahovaním z kocky: {\sqrt[{3}]{54}}={\sqrt[{3}]{27\cdot2}}=3{\sqrt[{3}]{2}}.
Konverzia medzi radikálom a racionálnym exponentom: {\sqrt[4]{x^{6}}=x^{6/4}=x^{3/2}=x\sqrt{x}} (pre x≥0, ak ide o hlavnú reálnu odmocninu).

Racionálne exponenty a pravidlá počítania

Radikály možno pohodlne počítať pomocou racionálnych exponentov: x^{a/b}={\sqrt[{b}]{x^{a}}}. Pri skladaní mocnín a koreňov treba dodržať pravidlá násobenia a násobenia exponentov: (x^{p})^{q}=x^{pq}.

Racionalizácia menovateľa

Pri zlomkoch s odmocninami v menovateli sa často upravuje tvar tak, aby v menovateli nebola odmocnina.

Jednoduchý príklad: 1/√2. Vynásobíme čitateľa a menovateľa √2: 1/√2 · √2/√2 = √2/2.
Pri menovateli s dvoma členmi alebo pri vyšších koreňoch sa používajú vhodné rozšírenia (konjugáty alebo násobenie tak, aby v menovateli vznikla dokonalá mocnina). Téma môže byť zložitejšia pre nepárne koreňe a vyžaduje špecifické úpravy.

Poznámky k záporným radikandom a komplexným koreňom

Pre párne n nie je reálny n-tý koreň záporného čísla. Napr. √(-9) nie je reálne číslo.
Pre nepárne n existuje reálny koreň aj pre záporné radicandy: {\sqrt[{3}]{-8}=-2}.
Ak povolíme komplexné čísla, každý nenulový komplexný radicand má presne n rôznych komplexných n‑tých koreňov, ktoré možno získať pomocou De Moivreovho vzorca alebo Eulerovej identity (podrobnejšie v komplexnej analýze).

Riešenie jednoduchých rovníc s koreňmi

Rovnica x³=8: riešenie x={\sqrt[{3}]{8}}=2.
Rovnica x²=9: reálne riešenia sú x=±3; symbol {\sqrt{9}} obyčajne označuje len hlavný (nezáporný) koreň 3. Preto pri riešení rovníc treba zvážiť aj záporné riešenia vznikajúce pri umocňovaní.

Zhrnutie

N-tý koreň (radikál) je základný nástroj v matematike, úzko spätý s mocninami. Kľúčové body sú:

Pri párnom indexe pracujeme v reálnych číslach len s nezápornými radicandami a obvykle uvažujeme hlavnú (nezápornú) odmocninu.
Pri nepárnom indexe je koreň definovaný pre všetky reálne radicandy a môže byť záporný.
Radikály sa dajú prevádzať na racionálne exponenty podľa vzorca {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{a/b}, čo umožňuje efektívne používať pravidlá mocnín.
Pri úpravách radikálov treba dbať na definičné obory a konvencie (hlavný koreň, všetky riešenia rovníc, reálne vs. komplexné riešenia).

Pre ďalšie informácie o mocninách a práci s exponentmi pozri exponenciácia.

Toto je graf pre y = x {\displaystyle y={\sqrt {x}}} $y={\sqrt {x}}$ . Je to odmocnina.

Toto je y = x 3 {\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}} $y={\sqrt[{3}]{x}}$ . Je to odmocnina z kocky.

Zjednodušenie

Toto je príklad zjednodušenia radikálu.

8 = 4 × 2 = 4 × 2 = 2 2 {\displaystyle {\sqrt {8}}={\sqrt {4\times 2}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}} ${\sqrt {8}}={\sqrt {4\times 2}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}$

Ak sú dva radikály rovnaké, možno ich kombinovať. Je to vtedy, keď sú oba indexy a radikandy rovnaké.

2 2 + 1 2 = 3 2 {\displaystyle 2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}} $2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}$

2 7 3 - 6 7 3 = - 4 7 3 {\displaystyle 2{\sqrt[{3}]{7}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}} $2{\sqrt[{3}]{7}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}$

Takto nájdete dokonalý štvorec a racionalizujete menovateľa.

8 x x 3 = 8 x x x = 8 x = 8 x × x x = 8 x x 2 = 8 x x {\displaystyle {\frac {8x}{{\sqrt {x}}^{3}}}={\frac {8{\cancel {x}}}{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={{\frac {8}{\sqrt {x}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}krát {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}={\frac {8{\sqrt {x}}{x}}}} ${\frac {8x}{{\sqrt {x}}^{3}}}={\frac {8{\cancel {x}}}{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}\times {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{x}}$

Súvisiace stránky

Racionalizácia (matematika)

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to n-tý koreň?

Odpoveď: N-tý koreň čísla r je číslo, ktoré, ak sa ním n-krát vynásobí, dáva číslo r.

Otázka: Ako sa zapisuje n-tá odmocnina?

Odpoveď: N-tý koreň čísla r sa zapisuje ako r^(1/n).

Otázka: Aké sú príklady koreňov?

Odpoveď: Ak je index (n) 2, potom radikálový výraz je odmocnina. Ak je 3, ide o kubickú odmocninu. Ostatné hodnoty n sa označujú pomocou poradových čísel, napríklad štvrtá odmocnina a desiata odmocnina.

Otázka: Čo hovorí vlastnosť súčinu radikálového výrazu?

Odpoveď: Vlastnosť súčinu radikálového výrazu hovorí, že sqrt(ab) = sqrt(a) x sqrt(b).

Otázka: Čo hovorí vlastnosť kvocientu radikálového výrazu?

Odpoveď: Kvocientová vlastnosť radikálového výrazu hovorí, že sqrt(a/b) = (sqrt(a))/(sqrt(b)), kde b != 0.

Otázka: Aké ďalšie výrazy možno použiť na označenie n-tého koreňa?

Odpoveď: N-tá odmocnina sa môže označovať aj ako radikál alebo radikálový výraz.

Prehľadať