Determinant matice

Existuje niekoľko spôsobov, ako pochopiť, čo determinant hovorí o matici.

Geometrická interpretácia

Maticu n × n {\displaystyle n\times n} možno považovať za maticu opisujúcu lineárnu mapu v n {\displaystyle n} dimenziách. V tomto prípade determinant hovorí o faktore, ktorým táto matica škáluje (zväčšuje alebo zmenšuje) oblasť n {\displaystyle n}rozmerného priestoru.

Napríklad matica A 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} {\displaystyle A} , vnímaná ako lineárna mapa, zmení štvorec v dvojrozmernom priestore na rovnobežník. Plocha tohto rovnobežníka bude det ( A ) {\displaystyle \det(A)} krát väčšia ako plocha štvorca.

Rovnakým spôsobom matica B 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} , vnímaná ako lineárna mapa, zmení kocku v trojrozmernom priestore na rovnobežník. Objem tohto rovnobežníka bude det ( B ) {\displaystyle \det(B)} krát väčší ako objem kocky.

Determinant môže byť záporný. Lineárna mapa môže objem roztiahnuť a zmenšiť, ale môže ho aj odrážať cez os. Vždy, keď sa tak stane, zmení sa znamienko determinantu z kladného na záporné alebo zo záporného na kladné. Záporný determinant znamená, že objem bol zrkadlený cez nepárny počet osí.

Interpretácia "sústavy rovníc"

Maticu si môžete predstaviť ako opis sústavy lineárnych rovníc. Tento systém má jedinečné netriviálne riešenie práve vtedy, keď determinant nie je rovný 0. (Netriviálne znamená, že riešenie nie je len samé nuly.)

Ak je determinant nulový, potom buď neexistuje jedinečné netriviálne riešenie, alebo ich je nekonečne veľa.

Matica má inverznú maticu práve vtedy, keď jej determinant nie je rovný 0. Z tohto dôvodu sa matica s nenulovým determinantom nazýva inverzná. Ak je determinant rovný 0, potom sa matica nazýva neinvertibilná alebo singulárna.

Z geometrického hľadiska si môžete singulárnu maticu predstaviť ako "sploštenie" rovnobežníka na rovnobežník alebo rovnobežníka na priamku. Vtedy je objem alebo plocha rovná 0 a neexistuje žiadna lineárna mapa, ktorá by prinavrátila starý tvar.

Existuje niekoľko spôsobov výpočtu determinantu.

Vzorce pre malé matice

• Pre matice 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} a 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} si môžete zapamätať vzorce:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. }

• Pre matice 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} platí vzorec:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

Na zapamätanie tohto vzorca môžete použiť pravidlo Sarrus (pozri obrázok).

Rozšírenie kofaktora

Pri väčších maticiach sa determinant počíta ťažšie. Jeden zo spôsobov sa nazýva kofaktorové rozšírenie.

Povedzme, že máme n × n {\displaystyle n\times n} maticu A {\displaystyle A} . Najprv si vyberieme ľubovoľný riadok alebo stĺpec matice. Pre každé číslo a i j {\displaystyle a_{ij}} v tomto riadku alebo stĺpci vypočítame niečo, čo sa nazýva jeho kofaktor C i j {\displaystyle C_{ij}} . Potom det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}} .

Na výpočet takéhoto kofaktora C i j {\displaystyle C_{ij}} vymažeme riadok i {\displaystyle i} a stĺpec j {\displaystyle j} z matice A {\displaystyle A} . Tým získame menšiu ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} maticu. Nazývame ju M {\displaystyle M} . Kofaktor C i j {\displaystyle C_{ij}} sa potom rovná ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} .

Tu je príklad kofaktorového rozšírenia ľavého stĺpca matice 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3}:

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\3&4\koniec{bmatrix}}vpravo)+\levo({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\3&4\end{bmatrix}}vpravo)+\levo({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\1&1\koniec{bmatrix}}vpravo)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\&=-11.\end{aligned}}

Ako vidíte tu, môžeme si ušetriť prácu výberom riadku alebo stĺpca, ktorý má veľa núl. Ak a i j {\displaystyle a_{ij}} je 0, nemusíme počítať C i j {\displaystyle C_{ij}} .

• Zväzok