AlegsaOnline.com

Determinant matice

Prehľad významu, definícií, spôsobov výpočtu a aplikačných vlastností determinantov štvorcových matíc v lineárnej algebre a geometrii.

Autor: Leandro Alegsa Dátum vytvorenia: 17. mája 2021 Posledná aktualizácia: 15. apríla 2026

Prehľad

Determinant je skalárna hodnota priradená štvorcovej matici, ktorá zachytáva niekoľko základných vlastností súvisiacich s lineárnou transformáciou reprezentovanou touto maticou. Informuje o tom, či je matica inverzibilná, ako transformácia mení objemy a či zachováva orientáciu priestoru. V matematických textoch sa často zapisuje ako det(A) alebo |A|. $A$ Viac technických definícií nájdete aj na externom zdroji.

Definícia a základné príklady

Pre 2×2 maticu A = [[a, b], [c, d]] je determinant jednoduchý výraz ad − bc. Pre 3×3 sa často používajú pravidlo Sarrusa alebo rozvinutie podľa riadkov a stĺpcov. Všeobecne možno determinant definovať cez Laplaceovo rozvinutie (súčty súčinov prvkov a ich algebraických doplnkov) alebo ako alternujúcu multilineárnu funkciu na stĺpcoch (alebo riadkoch), ktorá dáva hodnotu 1 pre jednotkovú maticu.

Vlastnosti

Medzi kľúčové vlastnosti determinantov patria:

Multiplikativita: det(AB) = det(A)·det(B).
Reakcia na transpozíciu: det(A^T) = det(A).
Riadkové operácie: výmena dvoch riadkov mení znamienko, násobenie riadka konštantou násobí determinant touto konštantou, pripočítanie násobku iného riadka nemení determinant.
Invertibilita: matica je regulárna (má inverznú) práve vtedy, keď jej determinant je nenulový; ak det = 0, matica je singulárna.

Výpočet a algoritmy

Pre ručný výpočet malých matíc sú praktické vzorce (2×2) alebo Sarrusovo pravidlo (3×3) a Laplaceovo rozvinutie. Pri väčších maticiach sa používa redukcia na hornú trojuholníkovú formu pomocou Gaussovej eliminácie; determinant potom rovná súčinu prvkov hlavnej diagonály upravenej matice, upravený o faktory z riadkových operácií. Taktiež existujú rýchle algoritmy v numerickej lineárnej algebre, pričom bežná komplexnosť výpočtu pomocou eliminácie je rádovo kubická vzhľadom na dimenziu matice.

Aplikácie a význam

Determinant má široké využitie v matematike a príbuzných disciplínach. V analytickej geometrii určuje škálovanie objemov pri lineárnych transformáciách a znamienko určuje, či transformácia zachováva alebo prevracia orientáciu. V teoréme o substitúcii v integráloch hrá rolu Jacobian (determinant matice parciálnych derivácií). Determinanty sú ďalej dôležité pri riešení sústav lineárnych rovníc (Cramerovo pravidlo), pri štúdiu vlastných hodnôt a pri analýze stability systémov.

Krátka história a poznámky

Koncept determinantov sa vyvíjal postupne: počiatky možno vystopovať v súvislosti s riešením sústav rovníc a formulemi z 17. a 18. storočia. Neskôr sa pojem formalizoval a prepojil s lineárnymi transformáciami a geometriou. V modernej algebre je determinant jedným z fundamentálnych invariantov lineárnych operátorov. $\det(A)$ $|A|$ $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)$ $\left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|$ $\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

Výklad

Existuje niekoľko spôsobov, ako pochopiť, čo determinant hovorí o matici.

Geometrická interpretácia

Maticu n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ možno považovať za maticu opisujúcu lineárnu mapu v n {\displaystyle n} dimenziách. V tomto prípade determinant hovorí o faktore, ktorým táto matica škáluje (zväčšuje alebo zmenšuje) oblasť n {\displaystyle n}rozmerného priestoru.

Napríklad $2\times 2$ matica A 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} {\displaystyle A} $A$ , vnímaná ako lineárna mapa, zmení štvorec v dvojrozmernom priestore na rovnobežník. Plocha tohto rovnobežníka bude det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ krát väčšia ako plocha štvorca.

Rovnakým spôsobom $3\times 3$ matica B 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} $B$ , vnímaná ako lineárna mapa, zmení kocku v trojrozmernom priestore na rovnobežník. Objem tohto rovnobežníka bude det ( B ) {\displaystyle \det(B)} $\det(B)$ krát väčší ako objem kocky.

Determinant môže byť záporný. Lineárna mapa môže objem roztiahnuť a zmenšiť, ale môže ho aj odrážať cez os. Vždy, keď sa tak stane, zmení sa znamienko determinantu z kladného na záporné alebo zo záporného na kladné. Záporný determinant znamená, že objem bol zrkadlený cez nepárny počet osí.

Interpretácia "sústavy rovníc"

Maticu si môžete predstaviť ako opis sústavy lineárnych rovníc. Tento systém má jedinečné netriviálne riešenie práve vtedy, keď determinant nie je rovný 0. (Netriviálne znamená, že riešenie nie je len samé nuly.)

Ak je determinant nulový, potom buď neexistuje jedinečné netriviálne riešenie, alebo ich je nekonečne veľa.

Singulárne matice

Matica má inverznú maticu práve vtedy, keď jej determinant nie je rovný 0. Z tohto dôvodu sa matica s nenulovým determinantom nazýva inverzná. Ak je determinant rovný 0, potom sa matica nazýva neinvertibilná alebo singulárna.

Z geometrického hľadiska si môžete singulárnu maticu predstaviť ako "sploštenie" rovnobežníka na rovnobežník alebo rovnobežníka na priamku. Vtedy je objem alebo plocha rovná 0 a neexistuje žiadna lineárna mapa, ktorá by prinavrátila starý tvar.

Výpočet determinantu

Existuje niekoľko spôsobov výpočtu determinantu.

Vzorce pre malé matice

Pre $2\times 2$ matice 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} $1\times 1$ a 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} si môžete zapamätať vzorce:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. } $\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

Pre $3\times 3$ matice 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} platí vzorec:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} ${\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}$

Na zapamätanie tohto vzorca môžete použiť pravidlo Sarrus (pozri obrázok).

Rozšírenie kofaktora

Pri väčších maticiach sa determinant počíta ťažšie. Jeden zo spôsobov sa nazýva kofaktorové rozšírenie.

Povedzme, že máme n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ maticu A {\displaystyle A} $A$ . Najprv si vyberieme ľubovoľný riadok alebo stĺpec matice. Pre každé číslo a i j {\displaystyle a_{ij}} $a_{ij}$ v tomto riadku alebo stĺpci vypočítame niečo, čo sa nazýva jeho kofaktor C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ . Potom det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}} $\det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}$ .

Na výpočet takéhoto kofaktora C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ vymažeme riadok i {\displaystyle i} $i$ a stĺpec j {\displaystyle j} $j$ z matice A {\displaystyle A} $A$ . Tým získame menšiu ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} $(n-1)\times (n-1)$ maticu. Nazývame ju M {\displaystyle M} $M$ . Kofaktor C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ sa potom rovná ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} $(-1)^{i+j}\det(M)$ .

Tu je príklad kofaktorového rozšírenia ľavého stĺpca $3\times 3$ matice 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3}:

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\3&4\koniec{bmatrix}}vpravo)+\levo({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\3&4\end{bmatrix}}vpravo)+\levo({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\1&1\koniec{bmatrix}}vpravo)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\&=-11.\end{aligned}} ${\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}$

Ako vidíte tu, môžeme si ušetriť prácu výberom riadku alebo stĺpca, ktorý má veľa núl. Ak a i j {\displaystyle a_{ij}} $a_{ij}$ je 0, nemusíme počítať C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ .