Paralelopipéd — trojrozmerný rovnobežník: definícia, vlastnosti a príklady

Vlastnosti

Ktorúkoľvek z troch dvojíc rovnobežných plôch možno považovať za základnú rovinu hranola. Rovnobežník má tri sady štyroch rovnobežných hrán; hrany v každej sade sú rovnako dlhé.

Rovnobežníky sú výsledkom lineárnych transformácií kocky (pre nedegenerované prípady: bijektívne lineárne transformácie).

Keďže každá stena má bodovú symetriu, rovnobežník je zonoedrom. Aj celý rovnobežník má bodovú symetriu _{Ci (}pozri tiež triklinický). Každá stena je pri pohľade zvonku zrkadlovým obrazom protiľahlej steny. Steny sú vo všeobecnosti chirálne, ale rovnobežník nie je.

Vyplnenie priestoru teseláciou je možné pomocou zhodných kópií ľubovoľného rovnobežníka.

Zväzok

Objem rovnobežníka je súčinom plochy jeho podstavy A a jeho výšky h. Podstavou je ktorákoľvek zo šiestich stien rovnobežníka. Výška je kolmá vzdialenosť medzi základňou a protiľahlou stenou.

Alternatívna metóda definuje vektory a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) a c = (c1, c2, c3), ktoré predstavujú tri hrany, ktoré sa stretávajú v jednom vrchole. Objem rovnobežníka sa potom rovná absolútnej hodnote skalárneho trojnásobku a - (b × c):

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

Je to pravda, pretože ak zvolíme b a c ako hrany podstavy, plocha podstavy je podľa definície krížového súčinu (pozri geometrický význam krížového súčinu),

A = | b | | c | sin θ = | b × c | , {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \vpravo|\vľavo|\mathbf {c} \vpravo|\sin \theta =\levo|\mathbf {b} \časy \mathbf {c} \vpravo|,}

kde θ je uhol medzi b a c a výška je

h = | a | cos α , {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

kde α je vnútorný uhol medzi a a h.

Z obrázku môžeme vyčítať, že veľkosť α je obmedzená na 0° ≤ α < 90°. Naopak, vektor b × c môže tvoriť s a vnútorný uhol β väčší ako 90° (0° ≤ β ≤ 180°). Keďže b × c je rovnobežný s h, hodnota β je buď β = α, alebo β = 180° - α. Takže

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

a

h = | a | | cos β | . {\displaystyle h=\vľavo|\mathbf {a} \vpravo|\vľavo|\cos \beta \vpravo|. }

Dospeli sme k záveru, že

V = A h = | a | b × c | | cos β | , {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \časy \mathbf {c} \pravý|ľavý|\cos \beta \pravý|,}

čo je podľa definície skalárneho (alebo bodového) súčinu ekvivalentné absolútnej hodnote a - (b × c), Q.E.D.

Tento výraz je tiež ekvivalentný absolútnej hodnote determinantu trojrozmernej matice vytvorenej pomocou riadkov (alebo stĺpcov) a, b a c:

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

Tá sa nájde pomocou Cramerovho pravidla na troch redukovaných dvojrozmerných maticiach nájdených z originálu.

Ak a, b a c sú dĺžky hrán rovnobežníka a α, β a γ sú vnútorné uhly medzi hranami, objem je

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}. }

Zodpovedajúci štvorsten

Objem ľubovoľného štvorstena, ktorý má spoločné tri zbiehajúce sa hrany s rovnobežníkom, má objem rovný jednej šestine objemu tohto rovnobežníka (pozri dôkaz).

Špeciálne prípady

Pre rovnobežníky s rovinou symetrie existujú dva prípady:

• má štyri obdĺžnikové plochy
• má dve kosoštvorcové steny, pričom z ostatných stien sú dve susedné rovnaké a ďalšie dve tiež (tieto dve dvojice sú navzájom zrkadlovým obrazom).

Pozri tiež monoklinický.

Pravouhlý kubus, nazývaný aj pravouhlý rovnobežník alebo niekedy jednoducho kubus, je rovnobežník, ktorého všetky steny sú pravouhlé; kocka je kubus so štvorcovými stenami.

Kosoštvorec je rovnobežník so všetkými kosoštvorcovými stenami; trojboký lichobežník je kosoštvorec so zhodnými kosoštvorcovými stenami.

Dokonalý rovnobežník

Dokonalý rovnobežník je rovnobežník s hranami, uhlopriečkami a priestorovými uhlopriečkami s celočíselnou dĺžkou. V roku 2009 sa ukázalo, že existujú desiatky dokonalých rovnobežníkov, čím bola zodpovedaná otvorená otázka Richarda Guya. Jeden z príkladov má hrany 271, 106 a 103, vedľajšie lícové uhlopriečky 101, 266 a 255, hlavné lícové uhlopriečky 183, 312 a 323 a priestorové uhlopriečky 374, 300, 278 a 272.

Sú známe niektoré dokonalé rovnobežníky s dvoma obdĺžnikovými plochami. Nie je však známe, či existujú aj také, ktoré majú všetky steny pravouhlé; takýto prípad by sa nazýval dokonalý kuboid.

Parallelotope

Coxeter nazval zovšeobecnenie rovnobežníka vo vyšších dimenziách rovnobežníkom.

Konkrétne v n-rozmernom priestore sa nazýva n-rozmerný paralelotop alebo jednoducho n-paralelotop. Rovnobežník je teda 2-paralelotop a rovnobežník je 3-paralelotop.

Všeobecnejšie povedané, paralelotop alebo voronoiov paralelotop má rovnobežné a zhodné protiľahlé hrany. Takže 2-paralelotop je rovnobežník, ktorý môže obsahovať aj niektoré šesťuholníky, a 3-paralelotop je rovnobežník, ktorý obsahuje 5 typov mnohostenov.

Uhlopriečky n-paralelotope sa pretínajú v jednom bode a sú týmto bodom pretnuté. Inverzia v tomto bode ponecháva n-paralelotop nezmenený. Pozri aj pevné body izometrických skupín v euklidovskom priestore.

Hrany vyžarujúce z jedného vrcholu k-paralelotopy tvoria k-rámec ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} vektorového priestoru a paralelotopa sa dá obnoviť z týchto vektorov pomocou lineárnych kombinácií vektorov s váhami medzi 0 a 1.

N-objem n-paralelotopy vloženej do R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}, kde m ≥ n {\displaystyle m\geq n}, možno vypočítať pomocou Gramovho determinantu. Alternatívne je objem normou vonkajšieho súčinu vektorov:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|. }

Ak m = n, rovná sa to absolútnej hodnote determinantu n vektorov.

Ďalší vzorec na výpočet objemu n-paralelotope P v R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , ktorého n + 1 vrcholov sú V 0 , V 1 , ... , V n {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}} , je

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , {\displaystyle {\rm {Vol}}(P)=|{\rm {det}} ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

kde [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} je riadkový vektor vytvorený spojením V i {\displaystyle V_{i}} a 1. V skutočnosti sa determinant nezmení, ak sa [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} odčíta od [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} (i > 0) a umiestnením [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} na poslednú pozíciu sa zmení len jeho znamienko.

Podobne objem ľubovoľného n-násobku, ktorý má n zbiehavých hrán paralelotope, má objem rovný 1/n! objemu tohto paralelotope.

Lexikografia

Toto slovo sa objavuje ako parallelipipedon v preklade Euklidových Elementov od sira Henryho Billingsleyho z roku 1570. Pierre Hérigone vo vydaní svojho diela Cursus mathematicus z roku 1644 použil pravopis parallelepipedum. Oxfordský slovník angličtiny uvádza, že dnešné parallelepiped sa prvýkrát objavilo v diele Waltera Charletona Chorea gigantum (1663).

Charles Hutton's Dictionary (1795) uvádza parallelopiped a parallelopipedon, čo dokazuje vplyv kombinovanej formy parallelo-, akoby druhý prvok bol pipedon a nie epipedon. Noah Webster (1806) uvádza pravopis parallelopiped. Vo vydaní Oxfordského slovníka angličtiny z roku 1989 sa parallelopiped (a parallelipiped) výslovne označujú ako nesprávne formy, ale vo vydaní z roku 2004 sa uvádzajú bez komentára a uvádza sa len výslovnosť s dôrazom na piatej slabike pi (/paɪ/).

Odklon od tradičnej výslovnosti v sebe skrýva odlišné rozdelenie, ktoré naznačujú grécke korene, pričom epi- ("na") a pedon ("zem") sa spájajú do epiped, plochej "roviny". Steny rovnobežníka sú teda rovinné, pričom protiľahlé steny sú rovnobežné.