Delenie nulou

V matematike platí, že číslo nemožno deliť nulou. Pozorujte:

1. A ∗ B = C {\displaystyle A*B=C} $A*B=C$

Ak B = 0, potom C = 0. To je pravda. Ale:

2. A = C / B {\displaystyle A=C/B} $A=C/B$

(kde B=0, takže sme práve vydelili nulou)

Čo je to isté ako:

3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} $A=0/0$

Problémom je, že A {\displaystyle A} $A$ môže byť ľubovoľné číslo. Fungovalo by to, keby A {\displaystyle A} $A$ bolo 1 alebo keby bolo 1 000 000 000. O 0/0 sa z tohto dôvodu hovorí, že má "neurčitý tvar", pretože nemá jedinú hodnotu. Na druhej strane, čísla tvaru A/0, kde A {\displaystyle A} $A$ nie je 0, sa nazývajú "neurčité" alebo "neurčité". Je to preto, že akýkoľvek pokus o ich definovanie vyústi do hodnoty nekonečna, ktorá je sama o sebe nedefinovaná. Zvyčajne, keď sa dve čísla rovnajú tomu istému, rovnajú sa navzájom. To však neplatí, keď vec, ktorej sa obe rovnajú, je 0/0. To znamená, že bežné pravidlá matematiky nefungujú, keď je číslo delené nulou.

Nesprávne dôkazy založené na delení nulou

Špeciálny prípad delenia nulou je možné zamaskovať do algebraického argumentu. To môže viesť k neplatným dôkazom, napríklad 1=2, ako v nasledujúcom prípade:

S týmito predpokladmi:

0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\times 1&=0\0\times 2&=0.\end{aligned}} ${\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}$

Musia platiť nasledujúce podmienky:

0 × 1 = 0 × 2. {\displaystyle 0\times 1=0\times 2.\,} $0\times 1=0\times 2.\,$

Delením nulou dostaneme:

0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.} $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.$

Zjednodušte:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Chybou je predpoklad, že delenie 0 je legitímna operácia s 0/0 = 1.

Väčšina ľudí by pravdepodobne rozpoznala, že uvedený "dôkaz" je nesprávny, ale ten istý argument možno prezentovať spôsobom, ktorý sťažuje odhalenie chyby. Napríklad, ak sa 1 zapíše ako x, potom sa 0 môže skrývať za x-x a 2 za x+x. Vyššie uvedený dôkaz sa potom môže zobraziť takto:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}} ${\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}$

preto:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,} $(x-x)x=(x-x)(x+x).\,$

Delením x - x dostaneme:

x = x + x {\displaystyle x=x+x\,} $x=x+x\,$

a vydelením x dostaneme:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Uvedený "dôkaz" je nesprávny, pretože pri delení x-x delí nulou, pretože každé číslo mínus samo seba je nula.

Výpočet

V kalkulu sú vyššie uvedené "neurčité formy" tiež výsledkom priamej substitúcie pri vyhodnocovaní limit.

Delenie nulou v počítačoch

Ak sa počítačový program pokúsi vydeliť celé číslo nulou, operačný systém to zvyčajne zistí a program zastaví. Zvyčajne vypíše "chybovú správu" alebo programátorovi poradí, ako program vylepšiť^[]. Delenie nulou je bežnou chybou v počítačovom programovaní. Výsledkom delenia čísel s pohyblivou desatinnou čiarkou (desatinných čísel) nulou je zvyčajne buď nekonečno, alebo špeciálna hodnota NaN (nie je číslo), v závislosti od toho, čo sa nulou delí.

Delenie nulou v geometrii

V geometrii 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}=\infty . } $\textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .$ Toto nekonečno (projektívne nekonečno) nie je ani kladné, ani záporné číslo, rovnako ako nula nie je ani kladné, ani záporné číslo

Otázky a odpovede

Otázka: Aký je výsledok delenia čísla nulou?

Odpoveď: Výsledkom delenia čísla nulou je "neurčitý" alebo "neurčitý tvar", čo znamená, že nemá jedinú hodnotu.

Otázka: Čo znamená 0/0?

Odpoveď: O čísle 0/0 sa hovorí, že má "neurčitý tvar", pretože nemá jedinú hodnotu.

Otázka: Čo sa stane, keď sa dve čísla rovnajú tej istej veci, ale tá vec je 0/0?

Odpoveď: Bežné pravidlá matematiky nefungujú, keď je číslo delené nulou, takže tieto dve čísla by sa navzájom nerovnali.

Otázka: Je pravda, že akýkoľvek pokus o definíciu čísla v tvare A/0 bude mať za následok hodnotu nekonečno?

Odpoveď: Áno, každý pokus definovať číslo v tvare A/0 (kde A nie je 0) bude mať za následok hodnotu nekonečna, ktorá sama o sebe nie je definovaná.

Otázka: Ako môžeme určiť, či sa dve čísla navzájom rovnajú?

Odpoveď: To, či sa dve čísla navzájom rovnajú, môžeme určiť tak, že zistíme, či sa obe rovnajú tomu istému. Zvyčajne to funguje, avšak neplatí to, ak sú obe čísla rovné 0/0.

Otázka: Existuje nejaká výnimka, keď nemôžeme číslo deliť nulou? Odpoveď: Áno, v matematike nie je možné číslo deliť nulou.