V matematike platí, že číslo nemožno deliť nulou. Nižšie vysvetlíme prečo, rozlíšime dve situácie a ukážeme, čo sa myslí pojmami „neurčitý tvar“ a „nedefinované“.
Základný dôvod
Ak vynásobíme dve čísla A a B a výsledok je C, píšeme
1. A ∗ B = C {\displaystyle A*B=C} 
Ak B = 0, potom vždy C = 0. To je nepopierateľné: čokoľvek vynásobené nulou dáva nulu.
Prečo teda nie je delenie nulou dovolené
Keď sa pokúsime preusporiadať rovnicu a „vydeliť“ obidve strany B, dostaneme
2. A = C / B {\displaystyle A=C/B} 
Ak je B = 0, tak sme práve „vydelili nulou“. Problém vidíme takto:
3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} 
Keď je A {\displaystyle A}
neznáme, rovnosť 0 = 0 platí pre ľubovoľné A, preto z rovnice A·0 = 0 nemožno jednoznačne určiť A. Preto výraz 0/0 nemá jedinú hodnotu a hovoríme, že má neurčitý tvar.
Rozlíšenie dvoch prípadov
- 0/0 (neurčitý tvar) – tu je rôznych dôvodov viac. Algebraicky z rovnice A·0 = 0 môže vyplývať ľubovoľné A, takže delenie nie je jednoznačné. V kalkule sa výraz 0/0 často vyskytuje pri limitoch; limit výrazov, ktoré vedú k 0/0, môže byť akákoľvek hodnota alebo ±∞ alebo nemusí existovať vôbec, v závislosti od konkrétnych funkcií. Príklady:
- lim (x→0) x/x = 1
- lim (x→0) x^2/x = 0
- lim (x→0) sin x / x = 1
- A/0 kde A ≠ 0 (nedefinované v reálnych číslach) – ak by sme chceli nájsť také číslo x, že x·0 = A, pri A ≠ 0 žiadne reálne číslo x túto rovnicu nesplní. Preto v bežnej aritmetike je A/0 jednoducho nedefinované. Ak však rozšírime čísla na tzv. rozšírenú reálnu os, môžeme hovoriť o limite, ktorá smeruje k +∞ alebo −∞ (napríklad lim (x→0+) 1/x = +∞ a lim (x→0−) 1/x = −∞), ale ±∞ nie sú skutočné reálne čísla a správanie sa z ľubovoľnej strany nemusí byť rovnaké. V projekcii reálnych čísel sa niekedy zavedie jediné „nekonečno“, ale to mení algebraické pravidlá a nie je súčasťou bežnej aritmetiky.
Prečo by delenie nulou viedlo ku kontradikciám
Pokúsme sa krátko ukázať, že povolenie delenia nulou rozbije pravidlá logiky v aritmetike. Ak by sme povedali, že 1/0 = K (nejaké číslo), potom by sme mali 1 = K·0 = 0, čo je zjavne nemožné. Podobné „dôkazy“ vedú k tomuto typu kontradikcií: bežné algebraické pravidlá, ktoré používame pri úpravách rovníc, predpokladajú, že deliť môžeme len nenulovými číslami. Ak tento predpoklad porušíme, dostaneme nesprávne závery ako 1 = 2.
Praktické odporúčania
- Pred delením vždy skontrolujte menovateľ: ak je nula, delenie nie je povolené.
- Pri limitoch, kde vzniká 0/0, použite algebraické úpravy, l'Hôpitalovo pravidlo alebo rozvinutia do série, aby ste určili skutočnú limitu (ak existuje).
- Pochopte rozdiel medzi „neurčitým tvarom“ (0/0) a „nedefinovaným\" (A/0, A ≠ 0). Prvý vyžaduje ďalšiu analýzu (napr. limity), druhý vo väčšine kontextov nemá zmysel v množine reálnych čísel.
Na záver: delenie nulou nie je dovolené, pretože vedie k strateniu jednoznačnosti alebo priamym logickým rozporom. V analytickej práci sa namiesto priameho delenia často používa argumentácia limitami alebo rozšírené číselné systémy, pričom treba byť opatrný pri interpretácii výsledkov. Viac o súvisiacich pojmoch nájdete aj pri pojme nekonečna, ktoré sa objavuje pri analyzovaní A/0 cez limity.
