Fermatovo číslo
Fermatovo číslo je špeciálne kladné číslo. Fermatove čísla sú pomenované podľa Pierra de Fermata. Vzorec, ktorý ich generuje, je F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{{\overset {n}{}}}+1} kde n je nezáporné celé číslo. Prvých deväť Fermatov…
Fermatovo číslo je špeciálne kladné číslo. Fermatove čísla sú pomenované podľa Pierra de Fermata. Vzorec, ktorý ich generuje, je
F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{{\overset {n}{}}}+1} 
kde n je nezáporné celé číslo. Prvých deväť Fermatových čísel je (sekvencia A000215 v OEIS):
F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65537
F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F8 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321
Od roku 2007 bolo úplne vyfaktúrovaných len prvých 12 Fermatových čísel. (zapísané ako súčin prvočísel) Tieto faktorizácie nájdete na stránke Prime Factors of Fermat Numbers.
Ak je 2n + 1 prvočíslo a n > 0, možno dokázať, že n musí byť mocnina dvoch. Každé prvočíslo tvaru 2n + 1 je Fermatovo číslo a takéto prvočísla sa nazývajú Fermatove prvočísla. Jediné známe Fermatove prvočísla sú F0,...,F4.
Zaujímavosti o Fermatových číslach
- Žiadne dve Fermatove čísla nemajú spoločných deliteľov.
- Fermatove čísla možno vypočítať rekurzívne: Ak chcete získať N-té číslo, vynásobte všetky Fermatove čísla pred ním a k výsledku pripočítajte dve.
Na čo sa používajú
Fermatove čísla sa dnes môžu používať na generovanie náhodných čísel v rozsahu od 0 do určitej hodnoty N, ktorá je mocninou 2.
Fermatova domnienka
Fermat pri skúmaní týchto čísel vyslovil domnienku, že všetky Fermatove čísla sú prvočísla. To dokázal Leonhard Euler, ktorý v roku 1732 vykonal faktorizáciu F 5 {\displaystyle F_{5}}
.
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je to Fermatovo číslo?
Odpoveď: Fermatovo číslo je špeciálne kladné číslo pomenované podľa Pierra de Fermata. Vzniká podľa vzorca F_n = 2^2^(n) + 1, kde n je nezáporné celé číslo.
Otázka: Koľko je Fermatových čísel?
Odpoveď: Od roku 2007 bolo úplne vyfaktúrovaných len prvých 12 Fermatových čísel.
Otázka: Ktorých je prvých deväť Fermatových čísel?
A: Prvých deväť Fermatových čísel je F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), a F8 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321).
Otázka: Čo možno povedať o prvočíslach tvaru 2n + 1?
Odpoveď: Ak je 2n + 1 prvočíslo a n > 0, potom možno dokázať, že n musí byť mocnina dvoch. Každé prvočíslo tvaru 2n + 1 je zároveň Fermatovým číslom a takéto prvočísla sa nazývajú Fermatove prvočísla. Jediné známe Fermatove prvočísla sú od 0 do 4.
Otázka: Kde možno nájsť faktorizácie všetkých 12 známych faktorovaných Fermatových čísel?
Odpoveď: Faktorizácie všetkých 12 známych faktorovaných Fermatových čísel možno nájsť na stránke Prime Factors of Fermat Numbers.
Otázka: Kto bol Pierre de Fermaat?
Odpoveď: Pierre de Fermaat bol vplyvný francúzsky matematik, ktorý žil v 17. storočí a ktorého práca položila veľkú časť základov modernej matematiky. Najznámejší je jeho príspevok k teórii pravdepodobnosti a analytickej geometrii, ako aj jeho slávna Posledná veta, ktorá zostala nevyriešená až do roku 1995, keď ju konečne dokázal Andrew Wiles pomocou metód algebraickej geometrie.
Súvisiace články
Autor
AlegsaOnline.com Fermatovo číslo Leandro Alegsa
URL: https://sk.alegsaonline.com/art/34028