Fermatovo číslo

Autor: Leandro Alegsa Dátum vytvorenia: 20. mája 2021

Fermatovo číslo je špeciálne kladné číslo. Fermatove čísla sú pomenované podľa Pierra de Fermata. Vzorec, ktorý ich generuje, je

F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{{\overset {n}{}}}+1} $F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$

kde n je nezáporné celé číslo. Prvých deväť Fermatových čísel je (sekvencia A000215 v OEIS):

F0 = ²¹ + 1 = 3

F1 = ²² + 1 = 5

F2 = ²⁴ + 1 = 17

F3 = ²⁸ + 1 = 257

F4 = ²¹⁶ + 1 = 65537

F5 = ²³² + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

F6 = ²⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F7 = ²¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

F8 = ²²⁵⁶ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

Od roku 2007 bolo úplne vyfaktúrovaných len prvých 12 Fermatových čísel. (zapísané ako súčin prvočísel) Tieto faktorizácie nájdete na stránke Prime Factors of Fermat Numbers.

Ak je 2n + 1 prvočíslo a n > 0, možno dokázať, že n musí byť mocnina dvoch. Každé prvočíslo tvaru 2n + 1 je Fermatovo číslo a takéto prvočísla sa nazývajú Fermatove prvočísla. Jediné známe Fermatove prvočísla sú F0,...,F4.

Zaujímavosti o Fermatových číslach

Žiadne dve Fermatove čísla nemajú spoločných deliteľov.
Fermatove čísla možno vypočítať rekurzívne: Ak chcete získať N-té číslo, vynásobte všetky Fermatove čísla pred ním a k výsledku pripočítajte dve.

Na čo sa používajú

Fermatove čísla sa dnes môžu používať na generovanie náhodných čísel v rozsahu od 0 do určitej hodnoty N, ktorá je mocninou 2.

Fermatova domnienka

Fermat pri skúmaní týchto čísel vyslovil domnienku, že všetky Fermatove čísla sú prvočísla. To dokázal Leonhard Euler, ktorý v roku 1732 vykonal faktorizáciu F 5 {\displaystyle F_{5}} $F_{5}$ .

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to Fermatovo číslo?

Odpoveď: Fermatovo číslo je špeciálne kladné číslo pomenované podľa Pierra de Fermata. Vzniká podľa vzorca F_n = 2^2^(n) + 1, kde n je nezáporné celé číslo.

Otázka: Koľko je Fermatových čísel?

Odpoveď: Od roku 2007 bolo úplne vyfaktúrovaných len prvých 12 Fermatových čísel.

Otázka: Ktorých je prvých deväť Fermatových čísel?

A: Prvých deväť Fermatových čísel je F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), a F8 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321).

Otázka: Čo možno povedať o prvočíslach tvaru 2n + 1?

Odpoveď: Ak je 2n + 1 prvočíslo a n > 0, potom možno dokázať, že n musí byť mocnina dvoch. Každé prvočíslo tvaru 2n + 1 je zároveň Fermatovým číslom a takéto prvočísla sa nazývajú Fermatove prvočísla. Jediné známe Fermatove prvočísla sú od 0 do 4.

Otázka: Kde možno nájsť faktorizácie všetkých 12 známych faktorovaných Fermatových čísel?

Odpoveď: Faktorizácie všetkých 12 známych faktorovaných Fermatových čísel možno nájsť na stránke Prime Factors of Fermat Numbers.

Otázka: Kto bol Pierre de Fermaat?

Odpoveď: Pierre de Fermaat bol vplyvný francúzsky matematik, ktorý žil v 17. storočí a ktorého práca položila veľkú časť základov modernej matematiky. Najznámejší je jeho príspevok k teórii pravdepodobnosti a analytickej geometrii, ako aj jeho slávna Posledná veta, ktorá zostala nevyriešená až do roku 1995, keď ju konečne dokázal Andrew Wiles pomocou metód algebraickej geometrie.