Číslo (matematika)

Metódy číslovania

Čísla pre ľudí

Číslam sa dajú priradiť rôzne symboly. Tieto spôsoby sa nazývajú číselné systémy. Najbežnejšou číselnou sústavou, ktorú ľudia používajú, je číselná sústava so základom desať. Základná desiatková číselná sústava sa nazýva aj desiatková číselná sústava. Základná desiatková číselná sústava je bežná, pretože ľudia majú desať prstov na rukách a desať na nohách. V základnej desiatkovej číselnej sústave sa používa 10 rôznych symbolov {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9}. Týchto desať symbolov sa nazýva číslice.

Symbol čísla sa skladá z týchto desiatich číslic. Poloha číslic ukazuje, aké veľké je číslo. Napríklad číslo 23 v desiatkovej číselnej sústave skutočne znamená (2 krát 10) plus 3 a 101 znamená 1 krát sto (=100) plus 0 krát 10 (=0) plus 1 krát 1 (=1).

Čísla pre stroje

Iný číselný systém je bežnejší pre stroje. Strojová číselná sústava sa nazýva binárna číselná sústava. Dvojková číselná sústava sa nazýva aj číselná sústava so základom dva. V dvojkovej číselnej sústave sa používajú dva rôzne symboly (0 a 1). Tieto dva symboly sa nazývajú bity.

Symbol binárneho čísla sa skladá z týchto dvoch bitových symbolov. Poloha bitových symbolov ukazuje, aké veľké je číslo. Napríklad číslo 10 v binárnej číselnej sústave v skutočnosti znamená 1 krát 2 plus 0 a 101 znamená 1 krát štyri (=4) plus 0 krát dva (=0) plus 1 krát 1 (=1). Binárne číslo 10 je rovnaké ako desiatkové číslo 2. Binárne číslo 101 je rovnaké ako desiatkové číslo 5.

Názvy čísel

Angličtina má špeciálne názvy pre niektoré čísla v desiatkovej číselnej sústave, ktoré sú "mocninami desiatich". Všetky tieto mocniny desiatich čísel v desiatkovej číselnej sústave používajú len symbol "1" a symbol "0". Napríklad desať desiatok je to isté ako desaťkrát desať alebo sto. V symboloch je to "10 × 10 = 100". Aj desať stoviek je to isté ako desaťkrát sto alebo tisíc. V symboloch je to "10 × 100 = 10 × 10 × 10 = 1000". Niektoré ďalšie mocniny desiatich čísel majú tiež špeciálne názvy:

• 1 - jeden
• 10 - desať
• 100 - sto
• 1000 - tisíc
• 1 000 000 - jeden milión

Pri väčších číslach ako toto existujú dva rôzne spôsoby pomenovania čísel v angličtine. Pri "dlhej stupnici" sa nový názov dáva vždy, keď je číslo miliónkrát väčšie ako posledné pomenované číslo. Nazýva sa tiež "britský štandard". Táto stupnica bola v Británii bežná, ale v súčasnosti sa v anglicky hovoriacich krajinách často nepoužíva. Stále sa používa v niektorých iných európskych krajinách. Ďalšou stupnicou je "krátka stupnica", podľa ktorej sa nový názov uvádza vždy, keď je číslo tisícnásobne väčšie ako posledné menované číslo. Táto stupnica je dnes oveľa bežnejšia vo väčšine anglicky hovoriacich krajín.

• 1 000 000 000 - jedna miliarda (krátka stupnica), jedna miliarda (dlhá stupnica)
• 1 000 000 000 000 000 - jeden bilión (krátka stupnica), jedna miliarda (dlhá stupnica)
• 1 000 000 000 000 000 000 - jeden kvadrilión (krátka stupnica), jeden biliard (dlhá stupnica)

Typy čísel

Prirodzené čísla

Prirodzené čísla sú čísla, ktoré bežne používame na počítanie, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 atď. Niektorí ľudia tvrdia, že aj 0 je prirodzené číslo.

Iný názov pre tieto čísla je kladné číslo. Tieto čísla sa niekedy píšu ako +1, aby sa ukázalo, že sa líšia od záporných čísel. Nie všetky kladné čísla sú však prirodzené (napríklad 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} je kladné, ale nie prirodzené).

Ak sa 0 nazýva prirodzené číslo, potom sú prirodzené čísla rovnaké ako celé čísla. Ak sa 0 nenazýva prirodzeným číslom, potom sú prirodzené čísla rovnaké ako počítané čísla. Ak sa teda nepoužívajú slová "prirodzené čísla", potom bude menej nejasností v tom, či je nula zahrnutá alebo nie. Niektorí však, žiaľ, tvrdia, že ani nula nie je celé číslo, a niektorí tvrdia, že celé čísla môžu byť záporné. "Kladné celé čísla" a "nezáporné celé čísla" sú ďalším spôsobom, ako zahrnúť nulu alebo vylúčiť nulu, ale len ak ľudia tieto slová poznajú.

Záporné čísla

Záporné čísla sú čísla menšie ako nula.

Jedným zo spôsobov, ako uvažovať o záporných číslach, je použitie číselnej čiary. Jeden bod na tejto priamke nazývame nula. Potom označíme (napíšeme názov) každé miesto na priamke podľa toho, ako ďaleko napravo od nulového bodu sa nachádza, napríklad bod jedna je jeden centimeter napravo, bod dva je dva centimetre napravo.

Teraz si predstavte bod, ktorý sa nachádza jeden centimeter naľavo od nulového bodu. Tento bod nemôžeme nazvať jednotkou, pretože už existuje bod s názvom jedna. Preto tento bod nazveme mínus 1 (-1) (keďže je vzdialený jeden centimeter, ale v opačnom smere).

Nižšie je uvedený nákres číselnej čiary.

Všetky bežné matematické operácie možno vykonávať so zápornými číslami:

Ak ľudia pripočítajú záporné číslo k inému, je to to isté ako odobrať kladné číslo s rovnakými číslicami. Napríklad 5 + (-3) je to isté ako 5 - 3 a rovná sa 2.

Ak odoberú záporné číslo inému číslu, je to to isté ako pripočítanie kladného čísla rovnakými číslicami. Napríklad 5 - (-3) je to isté ako 5 + 3 a rovná sa 8.

Ak vynásobia dve záporné čísla, dostanú kladné číslo. Napríklad -5 krát -3 je 15.

Ak vynásobia záporné číslo kladným číslom alebo vynásobia kladné číslo záporným číslom, dostanú záporný výsledok. Napríklad 5 krát -3 je -15.

Nájsť druhú odmocninu zo záporného čísla je nemožné, pretože zápor krát zápor sa rovná možnosti. Odmocninu záporného čísla symbolizujeme ako i.

Celé čísla

Celé čísla sú všetky prirodzené čísla, ich protiklady a nula. Desatinné čísla a zlomky nie sú celé čísla.

Racionálne čísla

Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno zapísať ako zlomky. To znamená, že ich možno zapísať ako a delené b, kde čísla a a b sú celé čísla a b sa nerovná 0.

Niektoré racionálne čísla, ako napríklad 1/10, potrebujú na zápis v desatinnom tvare konečný počet číslic za desatinnou čiarkou. Číslo jedna desatina sa v desatinnom tvare zapisuje ako 0,1. Čísla zapísané s konečným desatinným tvarom sú racionálne. Niektoré racionálne čísla, napríklad 1/11, potrebujú na zápis v desatinnom tvare nekonečný počet číslic za desatinnou čiarkou. Číslice za desatinnou čiarkou sa opakujú. Číslo jedna jedenástina sa v desatinnom tvare zapíše ako 0,0909090909 ... .

Percento by sa dalo nazvať racionálnym číslom, pretože percento ako 7 % sa dá zapísať ako zlomok 7/100. Možno ho zapísať aj ako desatinné číslo 0,07. Niekedy sa za racionálne číslo považuje aj pomer.

Iracionálne čísla

Iracionálne čísla sú čísla, ktoré sa nedajú zapísať ako zlomok, ale nemajú imaginárne časti (vysvetlené neskôr).

Iracionálne čísla sa často vyskytujú v geometrii. Napríklad ak máme štvorec so stranou 1 meter, vzdialenosť medzi protiľahlými rohmi je odmocnina z dvoch, čo je 1,414213 ... . To je iracionálne číslo. Matematici dokázali, že odmocnina z každého prirodzeného čísla je buď celé číslo, alebo iracionálne číslo.

Jedným z dobre známych iracionálnych čísel je číslo pí. Je to obvod (vzdialenosť okolo) kruhu vydelený jeho priemerom (vzdialenosť cez). Toto číslo je rovnaké pre každý kruh. Číslo pí je približne 3,1415926535 ... .

Iracionálne číslo sa nedá úplne zapísať v desatinnom tvare. Za desatinnou čiarkou by malo nekonečný počet číslic. Na rozdiel od 0,333333 ... by sa tieto číslice neopakovali donekonečna.

Reálne čísla

Reálne čísla je názov pre všetky vyššie uvedené množiny čísel:

• Racionálne čísla vrátane celých čísel
• Iracionálne čísla

Ide o všetky čísla, ktoré nezahŕňajú imaginárne čísla.

Imaginárne čísla

Imaginárne čísla sú tvorené násobením reálnych čísel číslom i. Toto číslo je druhou odmocninou z mínus jednej (-1).

V reálnych číslach neexistuje žiadne číslo, ktoré by po vynásobení štvorcom tvorilo číslo -1. Preto matematici vymysleli číslo. Toto číslo nazvali i alebo imaginárna jednotka.

Imaginárne čísla fungujú podľa rovnakých pravidiel ako reálne čísla:

• Súčet dvoch imaginárnych čísel sa zistí vytiahnutím (vynásobením) i. Napríklad 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
• Rozdiel dvoch imaginárnych čísel sa nájde podobne. Napríklad 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
• Pri násobení dvoch imaginárnych čísel nezabudnite, že i × i (i ²) je -1. Napríklad 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

Imaginárne čísla sa nazývajú imaginárne, pretože keď boli prvýkrát objavené, mnohí matematici si mysleli, že neexistujú.^[]Osobou, ktorá imaginárne čísla objavila, bol Gerolamo Cardano v roku 1500. Prvý, kto použil slová imaginárne číslo, bol René Descartes. Prví ľudia, ktorí tieto čísla použili, boli Leonard Euler a CarlFriedrich Gauss. Obaja žili v 18. storočí.

Komplexné čísla

Komplexné čísla sú čísla, ktoré majú dve časti: reálnu časť a imaginárnu časť. Každý typ čísla napísaný vyššie je tiež komplexným číslom.

Komplexné čísla sú všeobecnejšou formou čísel. Komplexné čísla možno nakresliť v rovine čísel. Tá sa skladá z priamky reálnych čísel a priamky imaginárnych čísel.

                      3i|_ | | 2i|_ . 2+2i | i|_ | | |_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____| -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 | -i|_ .3-i | | .-2-2i -2i|_ | | -3i|_ |

Celú bežnú matematiku možno vykonávať s komplexnými číslami:

• Ak chcete sčítať dve komplexné čísla, sčítajte reálnu a imaginárnu časť zvlášť. Napríklad (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
• Ak chcete odčítať jedno komplexné číslo od druhého, odčítajte reálnu a imaginárnu časť zvlášť. Napríklad (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

Násobenie dvoch komplexných čísel je zložité. Najjednoduchšie je to opísať všeobecne, s dvoma komplexnými číslami a + bi a c + di.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\displaystyle (a+b\mathrm {i} )\times (c+d\mathrm {i} )=a\times c+a\times d\mathrm {i} +b\mathrm {i} \times c+b\mathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} }

Napríklad (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Transcendentné čísla

Reálne alebo komplexné číslo sa nazýva transcendentné číslo, ak ho nemožno získať ako výsledok algebraickej rovnice s celočíselnými koeficientmi.

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

Dokázať, že určité číslo je transcendentné, môže byť veľmi ťažké. Každé transcendentné číslo je zároveň iracionálnym číslom. Prví ľudia, ktorí si všimli, že existujú transcendentné čísla, boli Gottfried Wilhelm Leibniz a Leonhard Euler. Prvý, kto skutočne dokázal, že existujú transcendentné čísla, bol Joseph Liouville. Urobil to v roku 1844.

Známe transcendentné čísla:

• e
• π
• e^a pre algebraické a ≠ 0
• 2 2 {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}

√2 je iracionálna.