Fermatova posledná veta je jedno z najslávnejších tvrdení v matematike. Hovorí, že pre celé číslo n väčšie ako 2 neexistujú nenulové prirodzené čísla x, y, z, ktoré by spĺňali rovnicu

x n + y n = z n {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}} {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}

Inými slovami: neexistujú kladné celé čísla (prirodzené čísla) x, y, z také, aby xn + yn = zn pre nejaké celé n > 2.

Krátka história a pôvod tvrdenia

Pierre de Fermat poznámku o tejto vete napísal v roku 1637 na okraj svojej kópie knihy Arithmetica. Pripísal k nej slávnu vetu: „Mám dôkaz tejto vety, ale na tomto okraji nie je dosť miesta.“ Fermat však nedodal žiadny formálny dôkaz a nijaký dokázateľný dôkaz sa nenašiel celé stáročia.

Kľúčové pokusy a čiastkové výsledky

  • Fermat sám dokázal prípad n = 4 pomocou metódy nekonečného zostupovania (infinite descent). Tento výsledok stačí na vyriešenie všetkých párnych exponentov.
  • Leonhard Euler (18. storočie) poskytol dôkaz pre n = 3.
  • Sophie Germain začiatkom 19. storočia priniesla dôležité nápady a dokázala vetu pre veľkú triedu prvočíselných exponentov (tzv. Germainove prvočísla) za istých podmienok.
  • Ernst Kummer v polovici 19. storočia zaviedol teóriu ideálnych čísel (ideálov) a dokázal vetu pre všetky tzv. „regular“ (regulárne) prvočísla; to vyriešilo veľkú časť prípadov, ale nie všetky.

Prečo bolo Fermatovo tvrdenie také ťažké?

Aj keď sa dokázali mnohé špeciálne prípady, univerzálny dôkaz vyžadoval nové spojenie medzi oblasťami matematiky, ktoré sa v 19. a 20. storočí vyvíjali nezávisle: teóriou čísel, eliptickými krivkami, modulárnymi formami a Galoisovými reprezentáciami. Súhrn týchto disciplín a nástrojov nakoniec umožnil úplný dôkaz.

Cesta k konečnému dôkazu: Frey, Serre, Ribet

  • V 80. rokoch 20. storočia navrhol Gerhard Frey, že z hypotetického netriviálneho riešenia ap + bp = cp (p prvočíslo) by sa dala postaviť špeciálna eliptická krivka (tzv. Freyova krivka), ktorá by mala veľmi zvláštne aritmetické vlastnosti.
  • Jean‑Pierre Serre formuloval (epsilon) hypotézu spájajúcu vlastnosti tejto krivky s pojmom „modularity“. Ken Ribet v roku 1986 dokázal (Ribetova veta), že ak by bola Taniyama–Shimura (modularita) pre určité eliptické krivky pravdivá, potom by Freyova krivka z hypotetického riešenia nemohla existovať. To znamenalo, že dôkaz modularity by zrušil existenciu riešení Fermatovej rovnice.

Andrew Wiles a finálny dôkaz (1993–1995)

Andrew Wiles oznámil v roku 1993 dôkaz dostatočnej časti Taniyama–Shimura‑Weilovej hypotézy pre tzv. semistabilné eliptické krivky, čím implicitne vyriešil Fermatovu poslednú vetu. Po zverejnení sa však našla medzera v jednej technickej časti dôkazu týkajúcej sa Galoisových reprezentácií. Wiles spolu s Richardom Taylorm pracovali na oprave a v roku 1994/1995 túto medzeru úspešne uzavreli. Hlavné články boli publikované v časopise Annals of Mathematics v roku 1995.

Stručný opis, ako Wilesov prístup funguje

  • Základný plán: spojenie medzi Fermatovou rovnicou a eliptickými krivkami cez Freyovu krivku.
  • Ribetova veta: ak by existovalo netriviálne riešenie Fermatovej rovnice pre prvočíslo p, potom by Freyova krivka nebola modulárna.
  • Taniyama–Shimura (modularita): predpoklad, že všetky (alebo aspoň všetky semistabilné) eliptické krivky nad rationálnymi číslami sú modulárne; modularita Freyovej krivky by teda vyústila do nekompatibility s výsledkom Ribeta.
  • Wiles dokázal modularitu pre semistabilné eliptické krivky pomocou komplikovaných nástrojov z teórie Galoisových reprezentácií a modulárnych foriem (tzv. „modularity lifting“ techniky). To poskytlo konečný kontradikčný dôkaz, že žiadne také riešenie Fermatovej rovnice nemôže existovať.

Prečo je nepravdepodobné, že Fermat mal úplný dôkaz?

Mnohí historici matematiky a matematici sa domnievajú, že Fermat v skutočnosti nenašiel všeobecný dôkaz pre všetky exponenty n > 2. Je veľmi pravdepodobné, že mal správny dôkaz len pre niektoré špeciálne prípady (napríklad svoj dôkaz pre n = 4) a možno si myslal, že jeho myšlienky možno zovšeobecniť. Moderný dôkaz využíva nástroje, ktoré vznikli až o niekoľko storočí neskôr, takže je nepravdepodobné, že Fermat disponoval úplným dôkazom v zmysle, ako ho chápeme dnes.

Význam Fermatovej poslednej vety

  • Riešenie tejto „starodávnej“ otázky ukázalo, ako hlboko sú prepojené rôzne oblasti modernej matematiky – teória čísel, eliptické krivky a teória modulárnych foriem.
  • Dôkaz Wilesa viedol k intenzívnemu rozvoju a overovaniu techník v aritmetickej geometrii a teórii Galoisových reprezentácií, ktoré majú ďalekosiahle dôsledky v teórii čísel.

Ďalšie informácie

Ak máte záujem o podrobnejší, technický prehľad dôkazu, hľadajte texty a učebnice týkajúce sa modularity theorem, eliptických kriviek, Galoisových reprezentácií a práce Wilesa a Taylora. Pre historický kontext sú užitočné texty o živote Fermata a o vývoji algebraickej teórie čísel v 19. storočí.