Fermatova posledná veta: definícia, história a dôkaz (Andrew Wiles, 1995)

Fermatova posledná veta: definícia, fascinujúca história a prelomový dôkaz Andrewa Wilesa (1995). Zistite, ako bol vyriešený jeden z najväčších matematických záhad.

Autor: Leandro Alegsa

20-10-2025 10:39

Fermatova posledná veta je jedno z najslávnejších tvrdení v matematike. Hovorí, že pre celé číslo n väčšie ako 2 neexistujú nenulové prirodzené čísla x, y, z, ktoré by spĺňali rovnicu

x n + y n = z n {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}} $x^{n}+y^{n}=z^{n}$

Inými slovami: neexistujú kladné celé čísla (prirodzené čísla) x, y, z také, aby xⁿ + yⁿ = zⁿ pre nejaké celé n > 2.

Krátka história a pôvod tvrdenia

Pierre de Fermat poznámku o tejto vete napísal v roku 1637 na okraj svojej kópie knihy Arithmetica. Pripísal k nej slávnu vetu: „Mám dôkaz tejto vety, ale na tomto okraji nie je dosť miesta.“ Fermat však nedodal žiadny formálny dôkaz a nijaký dokázateľný dôkaz sa nenašiel celé stáročia.

Kľúčové pokusy a čiastkové výsledky

Fermat sám dokázal prípad n = 4 pomocou metódy nekonečného zostupovania (infinite descent). Tento výsledok stačí na vyriešenie všetkých párnych exponentov.
Leonhard Euler (18. storočie) poskytol dôkaz pre n = 3.
Sophie Germain začiatkom 19. storočia priniesla dôležité nápady a dokázala vetu pre veľkú triedu prvočíselných exponentov (tzv. Germainove prvočísla) za istých podmienok.
Ernst Kummer v polovici 19. storočia zaviedol teóriu ideálnych čísel (ideálov) a dokázal vetu pre všetky tzv. „regular“ (regulárne) prvočísla; to vyriešilo veľkú časť prípadov, ale nie všetky.

Prečo bolo Fermatovo tvrdenie také ťažké?

Aj keď sa dokázali mnohé špeciálne prípady, univerzálny dôkaz vyžadoval nové spojenie medzi oblasťami matematiky, ktoré sa v 19. a 20. storočí vyvíjali nezávisle: teóriou čísel, eliptickými krivkami, modulárnymi formami a Galoisovými reprezentáciami. Súhrn týchto disciplín a nástrojov nakoniec umožnil úplný dôkaz.

Cesta k konečnému dôkazu: Frey, Serre, Ribet

V 80. rokoch 20. storočia navrhol Gerhard Frey, že z hypotetického netriviálneho riešenia a^p + b^p = c^p (p prvočíslo) by sa dala postaviť špeciálna eliptická krivka (tzv. Freyova krivka), ktorá by mala veľmi zvláštne aritmetické vlastnosti.
Jean‑Pierre Serre formuloval (epsilon) hypotézu spájajúcu vlastnosti tejto krivky s pojmom „modularity“. Ken Ribet v roku 1986 dokázal (Ribetova veta), že ak by bola Taniyama–Shimura (modularita) pre určité eliptické krivky pravdivá, potom by Freyova krivka z hypotetického riešenia nemohla existovať. To znamenalo, že dôkaz modularity by zrušil existenciu riešení Fermatovej rovnice.

Andrew Wiles a finálny dôkaz (1993–1995)

Andrew Wiles oznámil v roku 1993 dôkaz dostatočnej časti Taniyama–Shimura‑Weilovej hypotézy pre tzv. semistabilné eliptické krivky, čím implicitne vyriešil Fermatovu poslednú vetu. Po zverejnení sa však našla medzera v jednej technickej časti dôkazu týkajúcej sa Galoisových reprezentácií. Wiles spolu s Richardom Taylorm pracovali na oprave a v roku 1994/1995 túto medzeru úspešne uzavreli. Hlavné články boli publikované v časopise Annals of Mathematics v roku 1995.

Stručný opis, ako Wilesov prístup funguje

Základný plán: spojenie medzi Fermatovou rovnicou a eliptickými krivkami cez Freyovu krivku.
Ribetova veta: ak by existovalo netriviálne riešenie Fermatovej rovnice pre prvočíslo p, potom by Freyova krivka nebola modulárna.
Taniyama–Shimura (modularita): predpoklad, že všetky (alebo aspoň všetky semistabilné) eliptické krivky nad rationálnymi číslami sú modulárne; modularita Freyovej krivky by teda vyústila do nekompatibility s výsledkom Ribeta.
Wiles dokázal modularitu pre semistabilné eliptické krivky pomocou komplikovaných nástrojov z teórie Galoisových reprezentácií a modulárnych foriem (tzv. „modularity lifting“ techniky). To poskytlo konečný kontradikčný dôkaz, že žiadne také riešenie Fermatovej rovnice nemôže existovať.

Prečo je nepravdepodobné, že Fermat mal úplný dôkaz?

Mnohí historici matematiky a matematici sa domnievajú, že Fermat v skutočnosti nenašiel všeobecný dôkaz pre všetky exponenty n > 2. Je veľmi pravdepodobné, že mal správny dôkaz len pre niektoré špeciálne prípady (napríklad svoj dôkaz pre n = 4) a možno si myslal, že jeho myšlienky možno zovšeobecniť. Moderný dôkaz využíva nástroje, ktoré vznikli až o niekoľko storočí neskôr, takže je nepravdepodobné, že Fermat disponoval úplným dôkazom v zmysle, ako ho chápeme dnes.

Význam Fermatovej poslednej vety

Riešenie tejto „starodávnej“ otázky ukázalo, ako hlboko sú prepojené rôzne oblasti modernej matematiky – teória čísel, eliptické krivky a teória modulárnych foriem.
Dôkaz Wilesa viedol k intenzívnemu rozvoju a overovaniu techník v aritmetickej geometrii a teórii Galoisových reprezentácií, ktoré majú ďalekosiahle dôsledky v teórii čísel.

Ďalšie informácie

Ak máte záujem o podrobnejší, technický prehľad dôkazu, hľadajte texty a učebnice týkajúce sa modularity theorem, eliptických kriviek, Galoisových reprezentácií a práce Wilesa a Taylora. Pre historický kontext sú užitočné texty o živote Fermata a o vývoji algebraickej teórie čísel v 19. storočí.

Pierre de Fermat

Vzťahy k ostatným matematikám

Fermatova posledná veta je všeobecnejšia forma rovnice: a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . (Pochádza z Pytagorovej vety). Špeciálnym prípadom je, keď a, b a c sú celé čísla. Vtedy sa nazývajú "pytagorovská trojica". Napríklad: 3, 4 a 5 dávajú 3^2 + 4^2 = 5^2 ako 9+16=25 alebo 5, 12 a 13 dávajú 25+144=169. Je ich nekonečne veľa (pokračujú donekonečna). Fermatova posledná veta hovorí o tom, čo sa stane, keď sa dvojka zmení na väčšie celé číslo. Hovorí, že vtedy neexistujú žiadne trojice, keď a, b a c sú celé čísla väčšie alebo rovné jednej (to znamená, že ak je n väčšie ako dve, a, b a c nemôžu byť prirodzené čísla).

Dôkaz

Dôkaz bol vykonaný pre niektoré hodnoty n (ako n=3, n=4, n=5 a n=7). Urobili to Fermat, Euler, Sophie Germain a ďalší ľudia.

Úplný dôkaz však musí ukázať, že rovnica nemá riešenie pre všetky hodnoty n (keď n je celé číslo väčšie ako 2). Dôkaz bol veľmi náročný a riešenie Fermatovej poslednej vety si vyžadovalo veľa času.

Anglický matematik Andrew Wiles našiel riešenie v roku 1995, 358 rokov po tom, čo o ňom písal Fermat. Riešenie mu pomohol nájsť Richard Taylor^[]. Dôkaz si vyžiadal osem rokov výskumu. Vetu dokázal tak, že najprv dokázal vetu o modularite, ktorá sa vtedy nazývala Taniyama-Shimurova domnienka. Pomocou Ribetovej vety sa mu podarilo podať dôkaz Fermatovej poslednej vety. V júni 1997 dostal Wolfskehlovu cenu od Göttingenskej akadémie: jej výška bola približne 50 000 amerických dolárov.

Po niekoľkých rokoch diskusií sa ľudia zhodli, že Andrew Wiles tento problém vyriešil. Andrew Wiles použil veľa modernej matematiky a dokonca vytvoril novú matematiku, keď vytvoril svoje riešenie. Táto matematika bola v čase, keď Fermat písal svoj slávny zápis, neznáma, takže ju Fermat nemohol použiť. To vedie k domnienke, že Fermat v skutočnosti nemal úplné riešenie problému.

Britský matematik Andrew Wiles

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je Fermatova posledná veta?

Odpoveď: Fermatova posledná veta (FLT) hovorí, že ak n je celé číslo väčšie ako 2, potom rovnica x^n + y^n = z^n nemá riešenie, keď x, y a z sú prirodzené čísla. Inými slovami, nie je možné vyjadriť celými číslami dve kocky, ktorých súčet sa rovná tretej kocke alebo čomukoľvek vyššiemu ako štvorcom.

Otázka: Kedy bol napísaný FLT?

Odpoveď: Pierre de Fermat napísal o FLT v roku 1637 vo svojom výtlačku knihy s názvom Arithmetica.

Otázka: Čo povedal Fermat o tejto vete?

Odpoveď: Povedal: "Mám dôkaz tejto vety, ale na tomto okraji nie je dosť miesta".

Otázka: Ako dlho trvalo, kým bola FLT dokázaná?

Odpoveď: Trvalo 357 rokov, kým sa FLT dokázala správne; nakoniec sa to podarilo v roku 1995.

Otázka: Myslia si matematici, že Fermat mal skutočný dôkaz vety?

Odpoveď: Väčšina matematikov si nemyslí, že Fermat skutočne mal okrajový dôkaz tejto vety.

Otázka: Čo uvádza pôvodná úloha?

Odpoveď: Pôvodný problém hovorí, že nie je možné rozdeliť cubum autem (kocku) na dve kocky alebo quadratoquadratum (štvorec) na dva štvorce a vo všeobecnosti nič mimo štvorcov sa nedá rozdeliť na dva rovnaké názvy, pričom demonštrácia je pozoruhodná, ale príliš veľká pre veľkosť okraja.

Prehľadať