Gama funkcia

V matematike je funkcia gama (Γ(z)) rozšírením funkcie faktoriálu na všetky komplexné čísla okrem záporných celých čísel. Pre kladné celé čísla je definovaná ako Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}

Funkcia gama je definovaná pre všetky komplexné čísla. Nie je však definovaná pre záporné celé čísla a nulu. Pre komplexné číslo, ktorého reálna časť nie je záporné celé číslo, je funkcia definovaná takto:

Funkcia gama pozdĺž časti reálnej osiZoom
Funkcia gama pozdĺž časti reálnej osi

Vlastnosti

Konkrétne hodnoty

Niektoré konkrétne hodnoty funkcie gama sú:

Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2,363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3,544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1,772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0,88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1,32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3,32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\aprox -3,544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\aprox 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 0.88622692545\\Gamma (2)&=1!&=1\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 1,32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 3,32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\{array}}} {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}

Funkcia pí

Gauss zaviedol funkciu pí. Je to iný spôsob označenia funkcie gama. V zmysle funkcie gama je funkcia pí

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},} {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},}

aby

Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,} {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,}

pre každé nezáporné celé číslo n.

Aplikácie

Analytická teória čísel

Funkcia gama sa používa na štúdium Riemannovej zeta funkcie. Vlastnosťou Riemannovej zeta funkcie je jej funkčná rovnica:

Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}.}

Bernhard Riemann našiel vzťah medzi týmito dvoma funkciami. Bolo to v práci "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("O počte prvočísel menších ako dané množstvo") z roku 1859.

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}. } {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}.}

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to funkcia gama v matematike?


Odpoveď: Funkcia gama je kľúčovou témou v oblasti špeciálnych funkcií v matematike.

Otázka: Aké je rozšírenie funkcie faktoriálu na všetky komplexné čísla okrem záporných celých čísel?


Odpoveď: Funkcia gama je rozšírením funkcie faktoriálu na všetky komplexné čísla okrem záporných celých čísel.

Otázka: Ako je definovaná funkcia gama pre kladné celé čísla?


Odpoveď: Pre kladné celé čísla je funkcia gama definovaná ako Γ(n) = (n-1)!

Otázka: Je funkcia gama definovaná pre všetky komplexné čísla?


Odpoveď: Áno, funkcia gama je definovaná pre všetky komplexné čísla.

Otázka: Je funkcia gama definovaná pre záporné celé čísla a nulu?


Odpoveď: Nie, funkcia gama nie je definovaná pre záporné celé čísla a nulu.

Otázka: Ako je definovaná funkcia gama pre komplexné číslo, ktorého reálna časť nie je záporné celé číslo?


Odpoveď: Funkcia gama je definovaná pre komplexné číslo, ktorého reálna časť nie je záporné celé číslo, špecifickým vzorcom, ktorý nie je uvedený v texte.

Otázka: Prečo je funkcia gama dôležitá v matematike?


Odpoveď: Funkcia gama je v matematike dôležitá, pretože je kľúčovou témou v oblasti špeciálnych funkcií a rozširuje faktoriálovú funkciu na všetky komplexné čísla okrem záporných celých čísel.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3