Georg Friedrich Bernhard Riemann (nar. 17. septembra 1826 pri Hannoveri; zomrel 20. júla 1866 v Selasce, Taliansko) bol nemecký matematik. Mal krátky život a o svojich objavoch toho veľa nenapísal, ale všetky veci, ktoré objavil, boli mimoriadne dôležité a mali revolučný vplyv na matematiku. Prispel k mnohým oblastiam matematiky, ako je analýza, geometria, matematická fyzika a teória čísel. Dnes ho mnohí ľudia považujú za veľkého matematika. Patril medzi prvých matematikov, ktorí sa zaoberali komplexnou analýzou. Geometria, ktorú začal (a ktorá sa dnes nazýva Riemannovou geometriou), je jedným zo základov teórie relativity, ktorú vypracoval Albert Einstein.

Život a vzdelanie

Riemann pochádzal z pomerne skromných pomerov. Študoval najprv v učiteľskom seminári, neskôr prešiel na štúdium matematiky na univerzitu v Göttingene, kde sa zoznámil a získal vplyv od významných matematikov svojej doby. V rokoch 1850–1851 študoval aj v Berlíne. Doktorát získal v roku 1851 (v práci sa zaoberal funkciami komplexnej premennej) a v roku 1854 habilitoval s preslulou prednáškou „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“ — práca, ktorá položila základy modernej diferenciálnej geometrie. V roku 1859 dostal stoličku na univerzite v Göttingene. Riemann mal zlé zdravie — pravdepodobne tuberkulózu — a zomrel vo veku 39 rokov v Taliansku.

Hlavné diela a objavy

  • Komplexná analýza a Riemannove plochy: Riemann zaviedol pojem Riemannovej plochy ako prirodzené prostredie pre viachodnotové komplexné funkcie. Tento koncept umožnil pochopenie vetvenia funkcií, monodrómie a premostil algebraickú a analytickú stránku funkcií komplexnej premennej.
  • Riemannova mapa (Riemann mapping theorem): ukázal, že každá netriviálna jednoducho súvislá otvorená podmnožina komplexnej roviny je konformne zobrazená na jednotkový disk — výsledok s hlbokými dôsledkami v teorii konformných zobrazení.
  • Riemannova integrácia: zaviedol formu definície integrálu (tzv. Riemannov integrál), ktorá sa stala jedným zo základných pojmov v klasickej analýze.
  • Algebraická a analytická teória (Riemann–Rochova veta): rozvinul základy teórie algebraických kriviek a funkcií na týchto krivkách; Riemann–Rochova veta prepojila geometriu kriviek s rozmermi priestorov meromorfnych funkcií.
  • Matematická fyzika: Riemann sa zaoberal šírením tepla a vlnovým pohybom; používal analytické metódy na riešenie fyzikálnych problémov a zaviedol nové techniky využívajúce komplexnú analýzu.
  • Riemannova metrika a Riemannova geometria: v habilitačnej prednáške definoval pojem (lokálnej) metriky na viacrozmernom diferenciálnom mnohostene a zaviedol predstavu krivosti, ktorá neskôr umožnila formálne vyjadriť gravitačné pole v Einsteineovej teórii relativity.
  • Riemannova zeta-funkcia a teória čísel: v slávnom článku z roku 1859 študoval funkciu ζ(s) v komplexnej rovine a ukázal, ako jej nuly súvisia s rozložením prvočísel. Navrhol tiež slavný problém, dnes známy ako Riemannova hypotéza, podľa ktorej všetky netriviálne nuly ζ(s) majú reálnu časť rovnakú 1/2 — problém, ktorý zostáva otvorený a patrí medzi najslávnejšie nevyriešené problémy v matematike.

Štýl práce a dedičstvo

Riemann publikoval pomerne málo a jeho práce sú často krátke, ale hlboké a nápadité. Mnohé myšlienky zostali v podobe prednášok a poznámok, ktoré boli po jeho smrti zostavené a uverejnené kolegami. Jeho prístupy — geometrická intuícia spojená s analytickými metódami — otvorili nové smery v matematike a mali dlhodobý dopad v mnohých oblastiach:

  • zakladateľ modernej diferenciálnej a Riemannovej geometrie, ktorá sa neskôr stala matematickým základom všeobecnej teórie relativity;
  • položil základy modernej komplexnej analýzy a teórie funkcií jedného aj viacerých komplexných premenných;
  • otvoril nové cesty v analytickej teórii čísel; Riemannova práce o zete inšpirovala celé generácie matematikov pracujúcich na problémoch s prvočíslami;
  • jeho metódy a pojmy (napr. krivina, metrika, Riemannova plocha) sa stali štandardnou výbavou matematikov a fyzikov.

Posmrtné vydania a vplyv

Po jeho smrti boli Riemannove rukopisy, prednášky a poznámky zostavené a publikované jeho kolegami. Jeho myšlienky inšpirovali ďalších teoretikov — od matematickej analýzy cez algebraickú geometriu až po fyziku — a mnohé z nich sa vyvíjali ďalej, často podrobené formálnemu dopracovaniu (napr. definovanie tenzorov, rozšírenie Riemannovej koncepcie krivosti a metriky).

Záver

Bernhard Riemann je považovaný za jedného z najvýznamnejších matematikov 19. storočia. Hoci jeho dielo bolo stručné, jeho myšlienky boli mimoriadne plodné a stali sa základom pre množstvo ďalších objavov. Riemannova hypotéza zostáva jedným z centrál­nych otvorených problémov matematiky a jeho koncepcie naďalej formujú moderné smery v matematike a fyzike.