Komplexné číslo
Komplexné číslo je číslo, ale od bežných čísel sa líši mnohými spôsobmi. Komplexné číslo sa skladá z dvoch čísel, ktoré sa navzájom kombinujú. Prvou časťou je reálne číslo. Druhá časť komplexného čísla je imaginárne číslo. Najdôležitejšie imaginárne číslo sa nazýva i {\displaystyle i}
, definované ako číslo, ktoré bude mať po vynásobení štvorcom hodnotu -1 ("vynásobené štvorcom" znamená "vynásobené samým sebou"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } 
. Všetky ostatné imaginárne čísla sú i {\displaystyle i} vynásobené reálnym číslom, rovnako ako všetky reálne čísla možno považovať za 1 vynásobené iným číslom. Aritmetické funkcie, ako je sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie, možno používať s komplexnými číslami. Aj pre ne platia komutatívne, asociatívne a distribučné vlastnosti, rovnako ako pre reálne čísla.
Komplexné čísla boli objavené pri riešení špeciálnych rovníc, ktoré obsahujú exponenty. Tie začali pre matematikov predstavovať skutočný problém. Na porovnanie, pri použití záporných čísel je možné nájsť x v rovnici a + x = b {\displayyle a+x=b}
pre všetky reálne hodnoty a a b, ale ak sú pre x povolené len kladné čísla, niekedy je nemožné nájsť kladné x, ako napríklad v rovnici 3 + x = 1.
Pri exponenciácii je potrebné prekonať problém. Neexistuje žiadne reálne číslo, ktoré by po vynásobení štvorcom dávalo -1. Inými slovami, -1 (alebo akékoľvek iné záporné číslo) nemá reálnu druhú odmocninu. Napríklad neexistuje reálne číslo x {\displaystyle x}
, ktoré by riešilo ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}
. Na vyriešenie tohto problému matematici zaviedli symbol i a nazvali ho imaginárne číslo. Je to imaginárne číslo, ktoré po vynásobení štvorcom dá -1.
Prví matematici, ktorí na to mysleli, boli pravdepodobne Gerolamo Cardano a Raffaele Bombelli. Žili v 16. storočí. Bol to pravdepodobne Leonhard Euler, ktorý zaviedol písanie i {\displaystyle \mathrm {i} }
pre toto číslo.
Všetky komplexné čísla sa dajú zapísať ako a + b i {\displaystyle a+bi} 
(alebo a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
), kde a sa nazýva reálna časť čísla a b sa nazýva imaginárna časť. Píšeme ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} 
alebo Re ( z ) {\displaystyle \operátorname {Re} (z)}
pre reálnu časť komplexného čísla z {\displaystyle z}
. Ak teda z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
, píšeme a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operátorname {Re} (z)}
. Podobne píšeme ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)} 
alebo Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
pre imaginárnu časť komplexného čísla z {\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} 
, pre to isté z. Každé reálne číslo je zároveň komplexným číslom; je to komplexné číslo z s ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}
.
Komplexné číslo možno zapísať aj ako usporiadanú dvojicu (a, b). Obe čísla a a b sú reálne čísla. Každé reálne číslo možno jednoducho zapísať ako a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i} 
alebo ako dvojicu (a, 0).
Niekedy sa namiesto i {\displaystyle i} píše j {\displaystyle j}
. V elektrotechnike i {\displaystyle i} znamená elektrický prúd. Písanie i {\displaystyle i} môže spôsobiť veľa problémov, pretože niektoré čísla v elektrotechnike sú zložené čísla.
Množina všetkých komplexných čísel sa zvyčajne zapisuje ako C {\displaystyle \mathbb {C} } 
.
Operácie nad komplexnými číslami
Sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, pokiaľ deliteľ nie je nula, a exponenciácia (zvyšovanie čísel na exponenty) sú možné s komplexnými číslami. Niektoré ďalšie výpočty sú tiež možné s komplexnými číslami.
Pravidlo pre sčítanie a odčítanie zložených čísel je celkom jednoduché:
Nech z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} 
potom z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
, a z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
.
Násobenie je trochu iné:
z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } 
Ďalšou významnou operáciou pre komplexné čísla je konjugácia. Komplexný konjugát z¯ {\displaystyle {\overline {z}}}
k z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} je a - b i {\displaystyle a-bi}
. Je to celkom jednoduché, ale dôležité pre výpočty, pretože z × z ž {\displaystyle z\times {\overline {z}}}
patrí do reálnych čísel pre všetky komplexné z {\displaystyle z} :
z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}} 
.
Môžeme ho použiť na delenie:
1 z = z z z z z z = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} 
w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } 
Ďalšie formy opisu komplexných čísel
Komplexné čísla možno zobraziť v takzvanej komplexnej rovine. Ak máte číslo z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} , môžete ísť do bodu na reálnej osi a do bodu b na imaginárnej osi a nakresliť vektor z ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)}
do ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 
. Dĺžku tohto vektora možno vypočítať pomocou Pytagorovej vety a uhla medzi kladnou reálnou osou a týmto vektorom, pričom sa postupuje proti smeru hodinových ručičiek. Dĺžka vektora pre číslo z {\displaystyle z} sa nazýva jeho modul (zapísaný ako | z | {\displaystyle |z|}
) a uhol sa nazýva jeho argument ( arg z {\displaystyle \arg z}
).
To vedie k trigonometrickej forme opisu komplexných čísel: podľa definícií sínusu a kosínusu platí pre všetky z {\displaystyle z}, že
z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } 
To úzko súvisí s De Moivrovým vzorcom.
Existuje aj iný tvar, tzv. exponenciálnytvar.
Komplexné číslo možno vizuálne znázorniť ako dve čísla, ktoré tvoria vektor na Argandovom diagrame, ktorý predstavuje komplexnú rovinu.
Záver
Po pridaní komplexných čísel do matematiky má každý polynóm s komplexnými koeficientmi korene, ktoré sú komplexnými číslami. Úspešné pridanie komplexných čísel do matematiky tiež pomohlo otvoriť cestu k vytvoreniu ďalších druhov čísel, ktoré by mohli vyriešiť a pomôcť vysvetliť mnoho rôznych problémov, napríklad: hyperkomplexné čísla, sedenion, hyperreálne čísla, surreálne čísla a mnoho ďalších. Pozrite si typy čísel.
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je to zložené číslo?
Odpoveď: Komplexné číslo je číslo zložené z dvoch častí, pričom prvá časť je reálne číslo a druhá časť je imaginárne číslo.
Otázka: Aké je najdôležitejšie imaginárne číslo?
Odpoveď: Najdôležitejšie imaginárne číslo sa nazýva i, ktoré je definované ako číslo, ktoré po odmocnení bude mať hodnotu -1.
Otázka: Ako sa používajú aritmetické funkcie s komplexnými číslami?
Odpoveď: Aritmetické funkcie, ako je sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie, sa môžu používať s komplexnými číslami. Aj ony sa riadia komutatívnymi, asociatívnymi a distribučnými vlastnosťami rovnako ako reálne čísla.
Otázka: Aký symbol predstavuje množinu komplexných čísel?
Odpoveď: Množina komplexných čísel sa často znázorňuje pomocou symbolu C.
Otázka: Prečo boli objavené komplexné čísla?
Odpoveď: Komplexné čísla boli objavené pri pokuse o riešenie špeciálnych rovníc, ktoré majú v sebe exponenty, pretože pre matematikov predstavovali skutočné problémy.
Otázka: Kto zaviedol písanie i pre tento typ čísla?
Odpoveď: Pravdepodobne to bol Leonhard Euler, kto zaviedol písanie i pre tento typ čísla.
Otázka: Ako sa dá komplexné číslo zapísať ako usporiadaná dvojica?
Odpoveď: Komplexné číslo možno zapísať ako usporiadanú dvojicu (a, b), kde a aj b sú reálne čísla.
