Pri jednom čísle a a inom menšom čísle b podiel týchto dvoch čísel zistí ich delením. Ich pomer je a/b. Ďalší pomer sa zistí tak, že sa obe čísla sčítajú a+b a vydelia väčším číslom a. Nový pomer je (a+b)/a. Ak sa tieto dva pomery rovnajú rovnakému číslu, potom sa toto číslo nazýva zlatý rez. Grécke písmeno φ {\displaystyle \varphi } {\displaystyle \varphi } (fí) sa bežne používa ako označenie pre zlatý rez.

Napríklad, ak b = 1 a a/b = φ {\displaystyle \varphi } {\displaystyle \varphi }, potom a = φ {\displaystyle \varphi } {\displaystyle \varphi }. Druhý pomer (a+b)/a je potom ( φ + 1 ) / φ {\displaystyle (\varphi +1)/\varphi } {\displaystyle (\varphi +1)/\varphi }. Keďže tieto dva pomery sú rovnaké, platí:

φ = (φ + 1)/φ {\displaystyle \varphi ={\frac {\varphi +1}{\varphi }}}

Riešením tejto rovnice dostaneme známy uzavretý tvar

φ = (1 + √5) / 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}

√5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} je kladné číslo, ktoré po vynásobení sebou samým dáva 5, teda √5 × √5 = 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5}.

Zlatý rez je iracionálne číslo. Jeho desatinné vyjadrenie nezačne a nikdy sa nekončí ani neopakuje v periodickom zlomku; začína približne takto: 1,6180339887... Dôležitou vlastnosťou φ je samopodobnosť: od čísla φ môžeme odčítať 1 alebo ním môžeme vydeliť 1 a výsledok má rovnaký tvar. Konkrétne platí

  • φ^2 = φ + 1
  • 1/φ = φ − 1

Algebraické vlastnosti

φ je algebraické číslo stupňa 2: je to riešenie kvadratickej rovnice

x² − x − 1 = 0.

Z tejto rovnice vyplýva φ = (1 + √5)/2 a druhé riešenie (konjugát) je ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,6180339887.... Medzi ďalšie užitočné identity patrí pre prirodzené n

  • φ^n = F_n·φ + F_{n−1}, kde F_n sú Fibonacciho čísla
  • lim (F_{n+1}/F_n) = φ (pomery susedných Fibonacciho čísel konvergujú k φ)
  • φ má najjednoduchší nekonečný zretezený zlomok: φ = [1; 1, 1, 1, ...]

Geometrické a vizuálne vlastnosti

Zlatý rez sa často definuje geometricky: ak je segment rozdelený na dve časti tak, že pomer celej dĺžky k väčšej časti je rovnaký ako pomer väčšej časti k menšej, tento pomer je φ. Praktické dôsledky tejto vlastnosti sú zrejmé pri zostavovaní zlatého obdĺžnika (strany v pomere φ), ktorý možno ďalej rozdeľovať a dostávať samopodobné tvary (samopodobnosť súvisí s celotnými mocninami φ).

Použitie a výskyt

Zlatý rez sa vyskytuje v matematike (napr. v pravidelných päťuholníkoch a pentagónoch), v prírode (odvetvia rastlín, špirály lastúr), v umení a architektúre (kompozície, pomery rozmerov). V mnohých prípadoch poskytuje esteticky príjemné proporcie, hoci ich využitie v histórii umenia býva čiastočne idealizované.

Krátke zhrnutie

  • Definícia: φ je pomer, pri ktorom (a+b)/a = a/b.
  • Vzorec: φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,6180339887...
  • Algebraicky: φ² = φ + 1, 1/φ = φ − 1, min. polynóm x² − x − 1 = 0.
  • Prepojenie s Fibonacciho postupnosťou a zretezenými zlomkami.