Paralelný postulát
V geometrii je paralelný postulát jednou z axióm euklidovskej geometrie. Niekedy sa nazýva aj Euklidov piaty postulát, pretože je piatym postulátom v Euklidových Elementoch.
Postulát hovorí, že:
Ak úsečku pretnete dvoma priamkami a dva vnútorné uhly, ktoré tieto priamky vytvárajú, sú menšie ako 180°, potom sa tieto dve priamky nakoniec stretnú, ak ich dostatočne predĺžite.
Oblasť geometrie, ktorá sa riadi všetkými Euklidovými axiómami, sa nazýva euklidovská geometria. Geometrie, ktoré sa neriadia všetkými Euklidovými axiómami, sa nazývajú neeuklidovská geometria.
Ak je súčet vnútorných uhlov α (alfa) a β (beta) menší ako 180°, obe priamky sa niekde pretnú, ak sú obe predĺžené do nekonečna.
História
Niektorí matematici sa domnievali, že Euklidov piaty postulát je oveľa dlhší a zložitejší ako ostatné štyri postuláty. Mnohí z nich si mysleli, že sa dá dokázať z ostatných jednoduchších axiómov. Niektorí matematici vyhlásili, že ho dokázali z jednoduchších postulátov, ale ukázalo sa, že sa všetci mýlili.
Playfairova axióma
Ďalšie novšie tvrdenie známe ako Playfairova axióma je podobné Euklidovmu piatemu postulátu. Hovorí, že:
Ak je daná priamka a bod, ktorý neleží na tejto priamke, môžete cez tento bod narysovať len jednu priamku, ktorá sa nestretne s druhou priamkou.
V skutočnosti matematici zistili, že táto axióma je nielen podobná Euklidovmu piatemu postulátu, ale má úplne rovnaké dôsledky. Z matematického hľadiska sa tieto dva výroky nazývajú "ekvivalentné" výroky. Playfairovu axiómu dnes matematici používajú častejšie ako pôvodný Euklidov paralelný postulát.
Neeuklidovská geometria
Nakoniec sa niektorí matematici pokúsili vytvoriť nové geometrie bez použitia axióm. Jeden druh neeuklidovskej geometrie sa nazýva eliptická geometria. V eliptickej geometrii je paralelný postulát nahradený axiómou, ktorá hovorí, že:
Ak je daná priamka a bod, ktorý neleží na tejto priamke, nemožno cez tento bod narysovať priamku, ktorá by nakoniec nepretínala druhú priamku.
Matematici zistili, že keď nahradili Euklidov piaty postulát touto axiómou, stále boli schopní dokázať mnohé z ostatných Euklidových tvrdení. Jedným zo spôsobov, ako si predstaviť eliptickú geometriu, je predstaviť si povrch zemegule. Na glóbuse sa zdá, že dĺžkové čiary sú na rovníku rovnobežné, ale všetky sa stretávajú na póloch. Koncom 19. storočia sa ukázalo, že eliptická geometria je konzistentná. Tým sa dokázalo, že Euklidov piaty postulát nie je nezávislý od ostatných postulátov. Potom sa matematici väčšinou prestali snažiť dokázať piaty postulát na základe ostatných štyroch postulátov. Namiesto toho mnohí matematici začali študovať iné geometrie, ktoré sa neriadia Euklidovým piatym postulátom.
Ďalšia axióma, ktorou matematici niekedy nahrádzajú Euklidovu piatu axiómu, hovorí, že:
Ak máte danú priamku a bod, ktorý neleží na tejto priamke, môžete cez tento bod narysovať aspoň dve priamky, ktoré sa nakoniec nebudú pretínať s druhou priamkou.
To sa nazýva hyperbolická geometria.
Iná geometria jednoducho odstraňuje Euklidov piaty postulát a ničím ho nenahrádza. Nazýva sa neutrálna geometria alebo absolútna geometria.
