Euklidovská geometria
Euklidovská geometria je systém v matematike. Ľudia si myslia, že Euklides bol prvý, kto ju opísal, preto nesie jeho meno. Prvýkrát ju opísal vo svojej učebnici Elementy. Táto kniha bola prvou systematickou diskusiou o geometrii, ako bola v tom čase známa. V knihe Euklides najprv predpokladá niekoľko axióm. Tie tvoria základ pre neskoršie práce. Sú intuitívne jasné. Na základe týchto axióm sa dajú dokázať ďalšie tvrdenia.
V 19. storočí sa objavili ďalšie formy geometrie. Ide o neeuklidovskú geometriu. Carl Friedrich Gauss, János Bolyai a Nikolaj Ivanovič Lobačevskij boli niektorí ľudia, ktorí vyvinuli takéto geometrie. Veľmi často sa v nich nepoužíva postulát o rovnobežke, ale ostatné štyri axiómy.
Axiómy
Euklides vychádza z týchto predpokladov. Sú to axiómy a nie je potrebné ich dokazovať.
- Akékoľvek dva body možno spojiť priamkou
- Každú úsečku možno predĺžiť do nekonečna, takže sa z nej stane priamka.
- Pomocou úsečky je možné nakresliť kružnicu tak, aby jeden koncový bod úsečky bol stredom kružnice a druhý koncový bod ležal na kružnici. Úsečka sa stane polomerom kružnice.
- Všetky pravé uhly sú zhodné
- Paralelný postulát. Ak dve priamky pretínajú tretiu tak, že súčet vnútorných uhlov na jednej strane je menší ako dva pravé uhly, potom sa tieto dve priamky musia nevyhnutne pretínať na tejto strane, ak sa dostatočne predĺžia.
Stav
Euklidovská geometria je teória prvého rádu. Pomocou nej možno vysloviť a dokázať tvrdenia typu Pre všetky trojuholníky.... Výroky typu Pre všetky množiny trojuholníkov... sú mimo rámca tejto teórie.
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je to euklidovská geometria?
Odpoveď: Euklidovská geometria je systém v matematike, ktorý prvýkrát opísal Euklides vo svojej učebnici Elementy. Pozostáva z niekoľkých axióm, ktoré tvoria základ pre neskoršie práce, a z týchto axióm sa dajú dokázať ďalšie tvrdenia.
Otázka: Kto napísal Elementárnu sústavu?
Odpoveď: Euklides napísal knihu Elementy, ktorá bola prvou systematickou diskusiou o geometrii, ako bola v tom čase známa.
Otázka: Aké sú príklady neeuklidovskej geometrie?
Odpoveď: Neeuklidovské geometrie vytvorili Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai a Nikolaj Ivanovič Lobačevskij v 19. storočí. Tie často nepoužívajú paralelný postulát, ale opierajú sa o ostatné štyri axiómy.
Otázka: O čom pojednáva kniha Elements?
Odpoveď: V Elementoch sa rozoberá geometria, ako bola v tom čase známa, a poskytuje sa systematická diskusia o nej.
Otázka: Koľko axióm má euklidovská geometria?
Odpoveď: Euklidovská geometria má niekoľko axióm, ktoré tvoria jej základ pre neskoršie práce.
Otázka: Kto vytvoril neeuklidovskú geometriu?
Odpoveď: Neeuklidovskú geometriu vyvinuli Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai a Nikolaj Ivanovič Lobačevskij v 19. storočí.
Otázka: Používa neeuklidovská geometria všetkých päť axióm alebo len štyri?
Odpoveď: Neeuklidovská geometria často nepoužíva paralelný postulát, ale spolieha sa len na štyri z piatich axióm.
